II. — Décomposition en facteurs d'une fonction de plusieurs

variables. Fonctions implicites.

7. La décomposition en facteurs d'une fonction d'une variable, qui permet de mettre en évidence les racines de cette fonction, n'est pas susceptible de s'étendre sous la même forme à une fonction de deux ou plusieurs variables. Ici, en effet, l'ensemble des valeurs des variables qui annulent la fonction forme une suite continue. On peut cependant, dans une certaine mesure, réaliser une décomposition qui mette en évidence la partie d'une fonction susceptible de s'annuler dans le voisinage d'un système déterminé de valeurs des variables.

Avant d'aborder ce point, commençons par montrer comment le théorème de Cauchy, démontré (Cliap. VI, § 21) pour les polynômes, est susceptible de s'étendre à une fonction liolomorphe quelconque. Nous nous bornons toujours, uniquement pour abré- «jer, à une fonction de deux variables.

Soit donc une fonction F(^, ^') holomorphe dans le voisinaj;e de j: = o, j^ = o, c'est-à-dire dans des cercles de rayon po et R. On suppose que F(x^ y) s'annule pour :c = o, jv*==o et que F(o, y) ne soit pas identiquement nul.

Écrivons F(x,y) sous la forme

les A étant des fonctions holomorphes de x dans le voisinage de or = o.

En désignant par M le module maximum de/(x, ^'), on a

On suppose que

Ao(o) = Ai(o) =. . . = A„.-i(o) = o et \„{o) ^/^ o.

Nous voulons chercher le nombre des racines de l'équation en y,

voisines de zéro, pour x suffisamment voisin de zéro.

P. - II. i6

Écrivons

en posant

QA/i-i-i A/n-i -

Soit 6 le module minimum de A/i, ^ restant à Tintérieur d certain cercle dans lequel A,i ne s'annule pas et que nous sup serons être le cercle de rayon p©. On aura, en désignant par ; module de >%

Si donc on prend /* assez petit, on aura

modO < ->

lorsque le point (j*,y) est quelconque à Tintérieur des cercles rayon po pour x, et de rayon r pour y.

On aura, d'autre part, pour P, quand j^ reste sur le cercle rayon r, en appelant A le module maximum de Aq, A|, . . ., A,

mod P < -K ( — -^ ; -T- ... H — )

et comme Aot A|, ..., A,,i s'annulent pour j:* z^ o, on aura Ton prend pour domaine de x un cercle d'un rayon p <[ Oo aï petit, A aussi petit qu'on voudra. Prenons p assez petit pour

alors on aura

modP < - ,

a' restant dans le cercle de ravon o et y sur la circonférena r^iyon r.

Il est facile maintenant d'avoir le nombre des racines de l'êc tion en y

{x ayanl une valeur fixe dans le cercle de rayon p) contenues dans le cercle de rayon r. Il suflîl d'étudier la variation de Targumenl de F(x, y) quand y décrit la circonférence de rayon /•; or le module de P 4- Q étant inférieur à un, l'argument de

l-hP-^Q

reprend la même valeur. La variation de l'argument sera donc >/i-£ et, par suite, le nombre des racines sera égal à n.

8. Cherchons quelle forme on peut donner à la fonction F(j:, r). Al cet effet, x ayant une valeur fixe dans le cercle de rayon p, effectuons, sur le cercle de rayon /• dans le plan des j>', l'intégrale

y désignant un point quelconque à l'intérieur de (r). En déve-

loppant -, suivant les puissances entières de j^'', on voit immé-

diatement que cette intégrale est de la forme

^(^pf^^

1rs G étant des fonctions holomorphes de x. D'autre part, en désignant par

J'iî y^^ •••r J'n

les // racines de ¥{x, y) = o, contenues dans le cercle de rayon /*, cette intégrale est aussi égale à la somme des résidus de la fonction sous le signe d'intégration, relatifs aux pôles j>'< ,j)'2, . . ., )„ et j'', c'est-à-dire à

' /y.:.y yx-y yn--y

On a donc, en remplaçant y' par j', el posant

fiy)^- {y-yï){y--yi)'"{y—yn).

l'identité

ou

dF

dy \ I

F y— fi '" y—yn

àF df

dF

àf

ày

H (a:, y) étant une fonction holomorphe de x et j^, lorsqu points sont respectivement à l'intérieur des cercles de ra^ et r.

D'ailleurs y(^) est un polynôme en y

yn ^ a, 7«-» -h ... -h art-, 7 -^ a;,,

dont les coefficients sont des fonctions holomorphes de x, le voir, effectuons encore sur le cercle (r) l'intégrale

dF

C'est une fonction holomorphe.de jr, qui est identiquement à la somme

y\-^y'i^"'-^yn

des résidus de la fonction intégrée, c'est-à-dire que les somme puissances semblables de ^<, ..., J^/t sont des fonctions 1 morphes de x, et, par suite, enfin les coefficients a. Nous pouvons donc écrire

H,(j?,^') étant encore holomorphe, et G une constante par port ky^ c'est-à-dire une fonction de x qu'il est facile de déU ner : en faisant j^ =>'o» J'o étant sur le cercle de rayon r, on

or F(j:', j'o) el/{x^ J'o) ^^ s'annulent pas quand x est à l'inlé du cercle p. Il en résulte ([ue nous pouvons écrire

K(x,y) étant une fonction holomorphe qui ne s'annule pas quand x et y sont à V intérieur des cercles p et r; de plus, f{x^y) est un polynôme en y dont le premier coefficient est C unité et dont les autres coefficients sont des fonctions holomorphe s en X (*).

On voit que cette décomposition met en quelque sorte en évidence la partie de la fonction ¥{xy y) qui s^ annule dans le voisinage de x = o, y = o,

9. Une conséquence très importante peut se déduire du théorème précédent, relativement à l'existence des fonctions implicites. Considérons Téquation

V(x^y) étant holomorphe dans le voisinage de x =^o, y = o. Je suppose que ( j- ) ne soit pas nulle, c'est-à-dire que le nombre

n du paragraphe précédent soit égal à un. On aura donc

a^ étant holomorphe en x et s*annulant pour x = o. L'ensemble des valeurs de x et y voisines de zéro et satisfaisant à Téquation

doit nécessairement vérifier la relation

y-hai{x) = o,

puisque K(j;,j^) ne s'annule pas dans le voisinage de x = o^ y = o.

L'existence de la fonction implicite y de x est ainsi démontrée. Sous la condition indiquée, l'équation F = o définit une fonction holomorphe de x dans le voisinage de x = o.

(') Ce théorème est, depuis 1860, enseigne par M. Weierstrass dans ses Leçons de rUniversité de Berlin. Voir Abliandlungen aus der Functionenlehre von K. Weierstrass (Berlin, 1886). La démonstration qu'on vient de lire est due à M. Simart.

Soil, en particulier, l'équalion

0{y) étant holomorphe dans le voisinage dey =^ o et s*annulan pour celle valeur. Si G'(o) ^ o, Téquation précédente définis une fonction j' de x holomorphe dans le voisinage de Torigin^ Il est facile d^étudier le cas où Ton aurait

G'(o) = CCo) = . . . = Gp-^o) = o,

CmP(o) n'étant pas nul. On a, en effet,

.r ^yP{\ H- B^-r-...), A ^ o,

ri, par suile, on posant \x ^= x ,

Or, la fonction sous le radical ne s'annulant pas pour J' = o, détermination choisie pour le radical sera holomorphe dans voisinage de l'origine el Ton se trouvera ramené au cas précéden,:: par suite, >• se mettra sous la forme d'une série ordonnée suiva

les puissances de .r', c'est-à-ilire de \x. La fonction >* a doa /> délerminations qui se permutent autour de Torigine.

10. 1/analvse qui vient d'être développée s"étend d'elle-ménM à un nomhre quelconque do \ariablos indépendantes. Soil une fonction

des n - I variables indépendantes r. ./-i, j-^»» • • •'. J"/ï. s'annula* pour >* - = .r, ... - ,i\ ^-z: o. Si pour j*, =-^ .r *--... ^i^ jr„ := • le développement de

Fi »\ O. <». .... O».

commence par un Icrmc en r^, on pourra écrire

la fonction holomorphe K ne s'annulant pas dans le voisinage c y -Xi : .r.; - o et les «ï étant des fonctions holomorphe

^li •« I « «I'a» ...» Xq*

H. De ce résultai nous pouvons conclure Texistence et la nature des fonctions implicites définies par le système d'équations

Nous supposons que les fonctions F s'annulent pour

Ti — Xi= ... z=z Xn—yi = ... — 7p = O

et que pour ces valeurs le déterminant fonctionnel

D(Ft,Fs. ...,F^) ^{ru7i, '"Xp)

ne soit pas nul. Dans ces conditions, nous allons montrer que ces équations définissent, pour J'i, ^^2» •••^ ,>>? des fonctions holomorphes dans le voisinage de X| =: Xa = . . . = x,^ = o.

Pour l'établir, supposons la proposition démontrée, n étant quelconque, jusqu'à un nombre p — i d'équations. Nous allons montrer comment on peut passer de p — i à /?. Remarquons d'abord que les dérivées partielles du premier ordre

dFi OFi ôFi

t>ri ' àyi' ' ày^

ne s'annulent pas toutes quand les x et les y sont simultanément nuls. Soit, par exemple, la dernière de ces dérivées difierentes de zéro : nous pourrons écrire

Fi(xi,Xi. ... xn,yi,yiy *'-yp) = {yp-^a^)}\,

«1 étant holomorphe en jF|, ^2? • • • 7 ^nt y m J'2? • • • ? fp-^ ^^ ^ n'étant pas susceptible de s'annuler quand les x et les y sont suffisamment petits. Nous pouvons donc remplacer la première

équation par

y,,-\-ai = o,

et, par suite, en remplaçant j^^ par — cti, dans les équations suivantes, nous sommes ramené au cas de p — i équations. Il est facile de voir que le déterminant, correspondant à ces p — i équa-

lions, ne sera pas nul; nous avons d'abord, en efTel, le détern

dai

dax àyx

dax

Oy,

dF^

âFi

àyx

àyt

ÔFp

dFp

àyp-i

dFt

àF^

àyp^\

àyp

dFp

ÔFp

àyx àyt

àyp-\ ày^

difTérent (Je zéro quand les x et les j^ sont nuls. D'autre pî déterminant fonctionnel de

considérées comme fonctions de y^y y^^ . . ., yp~.\^ quant remplacé j^^ par — a^^ n'est autre chose que

^, ^ àax

àyx àyp dy^

ôFp àFp âai àyx àyp àyx

âFt àF^ dai

àyp-i àyp àyp^i

àF^

àFp àax ày^^ ~ ày^ à/p-i

et ce déterminant est au signe près identique au préc< comme le montre l'application des théorèmes les plus élémei sur les déterminants.

Le théorème relatif à ^existence et à la nature des lions implicites est donc complètement établi. Sous la lion indiquée relative au déterminant fonctionnel, les équ (4) définissent pour jx^ y^t • • • j yp des fonctions holom< dans le voisinage de j*! = X2 = . . . = x„ = o.

III. Des intégrales multiples de fonctions de plusieurs va: complexes. Extension du théorème deCauchy, d'après M. caré.

12. Avant d'arriver au sujet qui fera le principal objet d Section, il est nécessaire que nous généralisions l'étude fail cédemmcnl (t. I, p. 11 1) des intégrales de surface.

Soient x<, X2, . . . , Xm des variables en nombre m; noi

sidérons Tintégrale double

(I) CJl.kikdxidxf,,

expression purement symbolique, jusqu'à ce que nous lui ayons donné un sens, et dans laquelle, d'après les définitions qui vont suivre, l'ordre des deux facteurs dxidx/ç n'est pas indifférent; les A représentent des fonctions de x^^ X2^ • . • , Xm^ Nous convenons que

ce qui entraîne A// = o; les indices i et k prennent toutes les valeurs de I à m. L'intégrale (I) n'aura de sens que quand nous aurons fixé dans l'espace à m dimensions (xi, Xs, •••> Xm) la surface d'intégration. Concevons, à cet effet, que l'on prenne pour x^, j:,, . . ., Xm des fonctions de deux variables u et r, et soit une certaine aire A dans le plan des deux variables u et c. A Taire A du plan (m, v) correspond dans l'espace à m dimensions (Xj, jTj, . . . , Xm) une certaine portion de surface j et l'intégrale (I) étendue à cette portion de surface sera, par définition j l'intégrale double ordinaire

étendue à l'aire A. Comme précédemment, nous posons

\){Xi^xii) àxi dxk àxi dxk I)(a, v) du di> Ov Ou

On voit que, à cause de la relation A|yt= — A^/, les deux termes qui correspondent aux deux couples ik et ki s'ajoutent. Remarquons encore que, si l'on permute u et r, l'intégrale précédente change de signe; nous pouvons dire alors, conformément à ce qui se passait dans l'espace à trois dimensions, que l'intégrale est prise sur l'autre côté de la surface (voir loc. cit,, p. 1 13).

13. Nous devons nous poser pour l'intégrale (I) une question analogue à celle qui a été étudiée pour les intégrales de surface. A quelles conditions cette intégrale ne dépendra-t-elle que du contour de la surface d^ intégration? Pour bien préciser la

question, nous pouvons supposer qu^on se donne arbitrairement une aire A dans le plan (u, v) et que les expressions de jtijJTs, .... Xm, en fonction de u et r, dépendent de plus d'un paramètre arbitraire et cela de telle manière que x^, x^^, • • • , Xm aient le long du contour de A des valeurs indépendantes de ce paramètre : dans ces conditions on veut que la valeur de (I) ne dépende pas de c< paramètre.

Avant d'aborder cette question, commençons par supposer q*: les X soient des fonctions d'ailleurs arbitraires de trois variables "3

Y, Z, soit

Xi — fi{\, Y, Z) I = I, 9., ..., m).

L'intégrale (I) va alors devenir une intégrale de surface d^ l'espace ordinaire à trois dimensions, et, si l'on conçoit X, Y" -, exprimées en fonction de deux paramètres u et r, on aura, conm t le montre un calcul immédiat,

rX^r,-. Xk) D(//,.A) D(X, Y)

L'intégrale pourra donc s'écrire

c'est sous celte forme que nous avons précédemment écrit les légrales de surface.

Celte intégrale ne dépendra que du contour de la surface d légration, si l'on a

^. 1.^'^" THXTïTJ ^ \,2à"' D(Y, Z) J

Développons celle relation. Les termes en A//t disparaisse^ d'eux-mêmes, en vertu de Tidcntité facile à vérifier

,iZ 1}{X, Y) JX; D(Y,Z) ~^ 0\ D(Z, X) ~ ^*

FONCTIONS DE VARIABLES INDÉPENDANTES. 'i5l

Il reste alors

^ D(Z, \) \^id dxH d\ ) ^

Li 9 en réunissant tous les termes dans une sommation triple,

^ ^iâ\dxH dxi ^ ÔXk ) D(X, Y, Z)

C]ette sommation est étendue à toutes les combinaisons trois à ois /, Âr, h des chiffres 1,2, . . . , m. On remarquera que le terme >irrespondant à la combinaison /, Â', h reste le même, quel que ► î l l'ordre dans lequel on prenne ces trois lettres.

^4. Revenons maintenant à la question posée au début du pagraphe précédent : nous allons de suite trouver des conditions cessaires. Considérons, en effet, seulement comme variables trois s lettres x, soient Xi^ x^, ^a, les autres étant des constantes ar- ^"^ires. Dans l'espace à trois dimensions (x/, xa, ^a) la condi- *^ que nous venons de rappeler doit être remplie ; on aura donc

â\ik dXkh . à^X/ii ^^ dx/i dxi dx/i

-^la quels que soient les valeurs des x. Nous obtenons ainsi au- ^ d'identités nécessaires qu'il y a de combinaisons de m lettres ■^ à trois. Il faut montrer maintenant que ces conditions sont fi santés.

^ ous devons concevoir que les x aient été exprimés en fonc- "^ de deux paramètres 11 et v et d'une constante arbitraire £

Xi^ Oi(w, ^\t) (e -- I, 2, .. ., //i),

^^iant entre certaineslimites, et l'on suppose que les valeurs des^r dépendent pas de s quand le point («, v) est sur le contour A ^ l nous avons parlé plus haut. Il faut montrer que Vintéle (I) ne dépend pas de e.

Posons

CHAPlTtB IX.

Moire intégrale va alors devenir une intégrale de surface dans l'espace à trois dimensions (X, Y, Z) el, les conditions (6) élant rem — plies, rintégrale le long de toute surface fermée de cet espace ser^ nulle.

Pour e = o, l'intégrale (I) sera étendue à Taire A du plan de— (X, Y); pour e arbitraire, elle sera étendue à Taire B, section paLle plan Z = s du cylindre dont A est la section droite {Jîg» 28)14

Fig. 28.

Nous devons établir l'égalité de ces deux intégrales, en les supposant, bien entendu, prises dans le même sens, c'est-à-dire pouK un(î même direction de normales, soit les z positifs.

Or le cylindre et les aires A et B limitent un volume. L'intégrale prise le long de la surface totale de ce volume cylindrique esW nulle, puisque les relations (G) sont vérifiées; le résultat que nousî avons en vue sera donc établi, si nous montrons que Tintégralc^ prise sur la surface latérale du cylindre est nulle. Or il en est bien^ ainsi; en effet, les x ne dépendant pas par hypothèse de e quand le point {iiy r) est sur le contour A, les déterminants fonctionnels-

seront nuls sur la surface latérale, et, par suite, l'intégrale relative à cette surface sera égale à zéro. Les conditions trouvées comme m''cessaires sont donc suffisantes,

jNous avons, dans tout ce qui précède, supposé implicitement (pie les A étaient des fonctions bien déterminées et continues des x pour les systèmes de valeurs que nous avions à considérer. En

particulier, l'intégrale étendue à une surface que Ton déforme, en laissant ses bords invariables, ne gardera la même valeur que si cette surface, en se déformant, ne rencontre pas des systèmes de valeurs des X pour lesquelles les A deviendraient infinies ou mal déterminées. Tout cela est entièrement analogue à ce que nous avons dit longuement au Tome I pour le cas de trois dimensions; il est inutile d^insister.

lo. Nous pouvons maintenant nous occuper des intégrales multiples de plusieurs variables complexes.

Nous nous limiterons aux cas de deux variables complexes x et y. M. Poincaré a étendu aux intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchy (•); c'est ce que nous allons montrer.

Que doit-on entendre par ^intégrale double

<J) Jj¥ix,y)dxdy^

Cette expression n'a en elle-même aucun sens, mais il n'y a aucune hésitation à avoir sur la définition à adopter. Posons

X = xx-^ ixfy y = Xi-h ix^y

et considérons, comme plus haut, Xt, X2, x^, x^ comme fonctions de deux paramètres u et v : soit A une certaine aire dans le plan (m, v). L'intégrale

sera, par déGnition, la valeur de l'intégrale (J) étendue à la portion de la sur/ace de l'espace à quatre dimensions (Xj, X2^ x^^x^) qui correspond à l'aire A du plan (m, t'). On voit qu'on peut permuter X ci y; on aura une seconde intégrale égale et de signe contraire; on peut dire qu'elle est étendue à l'autre côté de la surface.

Mettons en évidence la partie réelle et la partie imaginaire de

(') PoiNCAiiÉ, Sur les résidus des intégrales doubles {Acla niathemuticn, t. IX).

r>.54 CHAPITRE IX.

rintëgrale ; en remplaçant x e\. y par leurs valeurs et posaol F =r P -f- /Q, on obtient

L D(w, p) D(a, P) Ji

Nous avons donc respectivement comme parties réelle et imaginaire*

que l'on peut écrire, sous forme plus abrégée, en se reportant aux définitions,

/ / ^{dxx dxi — dxi dxi) — Q(rfa:j dx^ -+- dxi dx^ ), I I Q{dxi dxi— dXi dx,,)-^ P{dxi dx^-h dxi dx^).

intégrales de même forme que celles qui ont été étudiées au paragraphe précédent.

Tout ceci étant bien compris, il est facile de décider si Ton peul élendre à ces intégrales doubles le théorème fondamental de Cauchy. En d'aulres termes, l'intégra/e double ci-dessus restet'(*lle ima viable quand on déforme la surf ace d^ intégration en la faisant toujours passer par le même contour?

Nous allons voir que les conditions trouvées au paragraphe précodent sont vérifiées. Prenons la première de ces intégrales

P ( dXi dxi — dXi dx^ ) — Q ( dx^ dx^ — dxx dx^ ).

Si nous récrivons comme plus haut sous la forme

Adx,dxA,

m doit poser

Aji = — A^2 — j

Aj3 — — A3J - — — î

les autres A sont nuls.

Or nous avons ici à vérifier quatre conditions, puisque quatre est le nombre des combinaisons de 4 lettres trois à trois. Soit d'abord la condition

elle se réduit à

Soit encore

elle se réduit à

àS^xt ^As 3 ^ dkjx dxi Oxi OXf ~~ '

âQ dP

Oxl àXi

Les deux relations entre P et Q que nous venons de trouver sont vérifiées ; ce sont, en effet, deux des relations exprimant que P-f- «Q est une fonction analeptique de Xi -f- 1X2 et Xi-\- ix.^. On s'assurera de la même manière que les deux conditions restantes, relatives à rintégrale considérée, sont vérifiées pour la même raison. Il en est aussi de même des conditions relatives à la seconde intégrale : nous pouvons donc affirmer que le théorème de Cauchy s'étend aux intégrales doubles,

16. Le théorème qui vient d'être établi peut, comme dans le cas

d'une seule variable, s'énoncer sous une autre forme. Considérons,

dans l'espace à quatre dimensions (jti, x.^^ .Ts, x^)^ une surface

fermée; une telle surface, par exemple, pourra être obtenue en

prenant

Xi= '^iiu.V) (/- 1,2, 3,4),

les o étant des fonctions de u et i>, përiodiques par rapporl a u et par rapport à i^. Nous pouvons énoncer le théorème saivanl, qui n'est qu^unc autre forme de la proposition du paragraphe précédent :

IJ intégrale

I I F{x,y)dxdy,

prise le long d^une surface fermée, sera nulle.

On sous-entend dans cet énoncé que la surface peut, par une déformation continue, se réduire à un point ou à une courbe, de telle manière que, pour l'ensemble des valeurs de x et y rencontrées par la surface pendant cette déformation, la fonction F ne cesse d^étrc bien déterminée et continue. La démonstration est iraraédiale; en ciTet, on pourra alors réduire la surface à un point ou à une courbe par une déformation continue et, pendant celle-ci, la valeur de Tinlégrale ne changera pas : or la valeur de Tintëgrale double ne peut être que zérOy puisque Taire de la surface d'intégration tend vers zéro.

17. Si une surface ne peut être réduite à un point ou à une courbe, par une déformation continue, sans rencontrer des systèmes de valeurs de ^ et^ pour lesquelles F(j:, y) devienne infinie, la valeur de l'intégrale pourra être différente de zéro. Prenons d'abord un exemple très simple; soit l'intégrale

xy

dxdy.

V{x^y) étant holomorphe dans le voisinage de x Je considère la surface déiinie par les équations

X = Re«^ y = R'e^

les paramètres réels u et i^ variant de u à 2t: : c'est une sur/ace fermée. La valeur de l'intégrale sur cette surface est

/ P(l{c"'\\Ve^')dudi^,

dont la valeur est manifestement

— 47CÏP(0,0).

Considérons encore l'intégrale double

m et n étant des entiers positifs. En intégrant suivant la même surface, on aura

et, en développant P(jr, ^) suivant les puissances de x et^, il restera simplement comme valeur de Tintégrale

4ir> / cim-f-n-ip \