I .-2. . .(m — I). 1.2. . .{n — I) \dx'^-^djrn-i J j^

Aa lieu de deux circonférences, on aurait pu prendre deux courbes C et C, comprenant respectivement les origines à leur intérieur, et considérer alors la sur/ace d'intégration comme du- G nie par les deux équations

:p et '} étant deux fonctions périodiques convenables de u et i^, et la surface d'intégration dans le plan des (e/, v) étant le rectangle des périodes. Cette nouvelle sur/ace d'intégration eût donné le même résultat que la surface précédente, car on peut évidemment passer de l'une à l'autre par une déformation continue. Soit, d'une manière plus générale, l'intégrale

el considérons un point (a, b) de rencontre des courbes Q ^ o, R = o ; je suppose que ce point soit un point simple de rencontre. Posons

pour X ^=a^ y ^ b nous aurons i = o, 7i = o;j:elj^ seront des fondions holomorphes de ^ cl t; dans le voisinage de Ç = o, 7| := o. En faisant ce changement de variable, nous avons la nouvelle intégrale

ff

c^dri

Si donc nous considérons autour du point S == o, 7| = o ]a même surface que toutàTheure (en prenant seulement ici les rayons R et R' suffisamment petits), nous aurons, comme valeur de Tintégrale,

— iiz^Pia.b)

puisqu^on a manifestement

D(?,Ti) D(Q,R)'

On pourrait, bien entendu, avoir pour l'intégrale la valeur égale et de signe contraire, en prenant dans un autre ordre le déterminant fonctionnel. Cela revient, d'après nos définitions, à intégrer sur l'autre côté de la surface.

18. On peut employer des sur/aces d'intégration très variées. La surface suivante nous sera utile tout à l'heure dans une importante application. Reprenons l'intégrale

. rr P{x,y)dxdy

Q et R s'annulant pour x =^ o^y - o ei ^^ — étant diflférent de

zéro pour ces valeurs des variables. Traçons dans les plans des variables x el y deux courbes C et C comprenant l'origine à leur intérieur et supposons que ni l'une ni l'autre des fonctions Q et R ne s'annule quand x eiy sont respectivement sur les courbes C et C. Nous admettons de plus que, y étant un point arbitraire de C, Téqualion

a une racine et une seule Xi à Tintérieur de C, tandis que dans les mêmes conditions l'équation

n'a pas de racine à l'intérieur de C. Nous prenons pour sur/ace d'intégration l'ensemble des deux courbes G et C parcourues dans le sens positif (*).

Nous allons effectuer le calcul de l'intégrale double en supposant d*abord j^ constant sur la courbe C ; nous avons donc à calculer en premier lieu l'intégrale

Or ce calcul est immédiat : on a

Qi(^i,j^)R(^i,/)'

jci étant la racine de Q(^,^) = o contenue dans C; X| est une fonction bolomorphe de y quand j^ reste à l'intérieur de C, et •elle s'annule pour^ = o.

Il faut maintenant effectuer l'intégration

fldy.

Je

Or I a pour pôle y =^ o. Nous n'avons donc qu*à calculer le résidu de

pour j^^= o; en tenant compte de la relation

on a de suite pour ce résidu

rD(Q.R)]

(*) Cette surface remplace le tore dont fait usage M. Poincaré dans son Mémoire et nous permet d'éviter un calcul assez pénible {voir Poincaré, /oc. cit., § 4).

â6o CHAPITRE IX.

et nous trouvons pour valeur de l'intégrale (7)

rD(Q,R)|

En permutante ctj^, on obtiendrait un résultat égal et de s contraire; il correspondrait évidemment, d'après nos définit mêmes, à l'intégration faite sur l'autre côté de la surface.

19. Dans les exemples précédents, nous avons intégré le d'une surface que l'on pouvait prendre très petite dans toute dimensions; on peut appeler les résidus que nous venouî trouver des résidus de points. On peut rencontrer d'autres ré^ que ceux que nous venons d'obtenir et que l'on pourrait app comme on va le voir, des résidus de lignes.

Sans traiter la question générale de la recherche des réf des intégrales doubles

^{^,y)dxdy,

OÙ ¥{x^y) est une fraction rationnelle de x et j^', rechercha se rattache à la notion des périodes des intégrales abélienn sur laquelle nous reviendrons plus tard, prenons seulement, le moment, un cas particulier qui sera d'ailleurs bien suffisant fixer les idées sur la nature de cette seconde catégorie de résA Soit l'intégrale double

où Q(j^) est un poljTîôme en x.

Considérons dans le plan de la variable complexe x un cy^ correspondant à la fonction algébrique y de x définie pai quation

Ce sera un contour contenant un nombre pair de racines pies de l'équation Q(e; -= o. Nous parlons d'un point Xq ^ contour avec une détermination bien précisée yo du r».

y'Q(j:); quand x décrit le contour, y dans son plan décrit un contour fermé partant de y\ et y revenant. Supposons que le point y en se déplaçant entraîne avec lui une circonférence F d'un petit rayon, que, pour bien fixer les idées, nous supposerons fixe. On peut considérer que la circonférence F, en se déplaçant, engendre dans Fespace à quatre dimensions (xi, x-i^ ^3, x,,') une surface fermée qui est une sorte de tore : c^cst sur cette surface que nous allons intégrer.

Laissant d'abord x constant, nous intégrons sur la circonférence F, ce qui nous conduit à prendre

sur celle circonférence. A l'inlérieur de celle-ci se Irouve une

racine qui esl la dëlermination convenable de ^^{x) ', nous avons donc à prendre un résidu ordinaire, et l'on a de suilc

**" y = v/Q(x). Il faut maintenant faire varier x en lui faisant décrire le cycle C, ce qui nous donne la période de Fintégrale

correspondant au cycle C.

*^ pointdevue(*) pourra se généraliser pour une fraction ration- "^ quelconque, et Fon voit que les périodes d'une intégrale , ^^O'nne se présentent naturellement dans celte question. Ainsi, * l'intégrale double

r r <i^dy^

^ tara ici P= 1, Q(^) =^ 1 — r^. Prenons comme cycle C une

I ^ ^ Le point de vue auquel je viens de me placer est celui que j*ai adopté dans ^ ^"«cherches sur les périodes des intégrales doubles. Voir nif>n Mémoire Sur

* r^^^^ictions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Ma- "^^Uiques, 1889).

courbe fermée comprenant à son intérieur les points — i et -}- i

Nous aurons à prendre

. r dx

dx izi I — J

ce qui nous donnera sti^/ ou ia valeur égale et de signe contraire suivant le sens de l'intégration.

rv. Formule de Lagrange pour une et deux équations.

20. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant une formuY célèbre due à Lagrange. Cette formule établie par le grand gé' mètre pour le cas d*une seule équation a été étendue par Laplsàczr à deux ou plusieurs équations. On peut traiter les deux cas p^ une méthode analogue; aussi, pour ne pas les séparer, avo¥i== nous placé ici Tétude de cette importante série.

La série de Lagrange a pour objet d'obtenir l'une des racine "^ de l'équation

développée suivant les puissances de a, ou, plus généralement, le développement d'une fonction liolomorphe quelconque de celle racine. Nons allons suivre la même marche que M. Hermile dans son Cours lilhographié de la Facullé des Sciences (4® édition, p. 182); nous renverrons aussi à cet Ouvrage pour la bibliographie de la question.

Nous démon Irerons d'abord un lemme préliminaire. Soient F el O deux fonctions holomorphes; les équalions

ont le mértie nombre de racines comprises dans un contour fermé S, sous la condition que, lout le long de ce conlour, on ait constamment

La différence entre le nombre des racines de ces deux équations comprises à rinlcrieur de S est, en effet,

\ r^log(F- <[>) - ' A/logF,

qui peut s'écrire

el, puisque =r < i tout le long de S, il en résulte que cette intégrale est nulle.

Appliquons ce résultat à Téquation

5 — a — otf(z ) = o.

On suppose que a représente un point situé à l'intérieur d'un contour S, et que la constante a soit assez petite pour que l'on ait sur ce contour

ce qui peut évidemment être réalisé. Alors l'équation proposée aura, à l'intérieur du contour, le même nombre de racines que l'équation z = a^ c'est-à-dire une seule : c'est cette racine que nous allons envisager dans la suite.