FONCTIONS ALGÉBRIQUES D*(JNE VARIABLE

némcs raisonnements que plus haut. Nous aurons alors une sième succession de lacets dont les trois premiers permuteront 6, et nous avons introduit de nouveaux lacets ne permupas a,

in continuant ainsi, il est évident que nous obtiendrons une e de lacets tracés dans un ordre tel que tous les lacets perlant a et b seront au premier rang et que tous les suivants oermuteront plus la racine a. D'ailleurs le nombre des lacets mutant ab, ainsi obtenus, sera nécessairement pair; sinon, contour partant de O, avec la valeur initiale a, ne pourrait ramener la racine a après avoir enveloppé tous les points de lification, puisque, en dehors des lacets permutant a et 6, il a plus de lacets permutant a avec une autre racine, ^ous n*allons plus maintenant modifier les lacets permutant a 6, et nous laissons entièrement de côté, pour le moment, un tain angle du plan ayant O pour sommet et les contenant. On W supposer que le premier lacet que nous rencontrons sur la îte (après les lacets ab) permute b avec une troisième racine c. 18 opérerons avec 6 et c comme nous avons opéré avec a et 6; pourra donc grouper ensemble tous les lacets permutant belc suite des lacets permutant a et 6, et ainsi de suite, inalement, nous pouvons supposer que les lacets qui joignent ^oint O à tous les points de ramification se composent, en znt de la gauche vers la droite, d^un nombre pair de lacets nuitant a et b^ d^un nombre pair de lacets permutant b , etc.j et enfin d^un nombre pair de lacets permutant k et /, désignant par a, 6, . . . , Xr, / les m racines de Téquation i^ z) =^ o quand z est en O.

5. Nous pouvons définir maintenant bien nettement la surî de Riemann correspondant à la fonction algébrique dont is faisons l'étude. Considérons d'abord les lacets A permutant l 6, soit ûi, «2» • • • » ^c {fig- 38), en les supposant au ftbre de six. Joignons-les par des lignes a^ aj, a% a^^ a^a^ de e sorte que les triangles Oa|rt,, Oa^a^^ Oa^a^ ne renferment un point critique à leur intérieur, ce qui est évidemment posie. Si Ton suppose que la variable z ne traverse pas les lignes cédantes, la racine u de réqualion/(£/, z) = o, prenant en O P. — II. 2i

la valeur cr, sera une fonction de z n'ayant qu'une valeur en tout point du plan. Tout chemin ramènera en effet la même valeur en O; la chose est évidente pour tout chemin qui n'enveloppe pas une des lignes précédentes, puisque aucun des lacets

autres que les lacets A ne permute a; quant à un chemin entourant ai a2j par exemple, il sera équivalent aux lacets a^ et a^ successivement parcourus et ramènera par suite a. Nous considérons donc un premier plan sur lequel sont tracées les sections a, ^2, ^3^49 a^a^ que nous appellerons sections A; nous désignerons ce plan sous le nom de plan a, rappelant ainsi que la fonction u^ qui prend en O la valeur a, n^a qu'une valeur dans ce ])lan quand la variable z est assujettie à ne pas traverser les sections.

Nous envisagerons de même un second plan, superposé au premier, où Ton aura tracé les mêmes sections que dans le plan a et en plus des sections B correspondant aux extrémités des lacets b permutant 6 et c jointes de deux en deux : ce sera le plan b. La fonction w, prenant en O la valeur fr, n'aura qu'une valeur dans ce plan si la variable respecte les sections A et B qui j sont tracées.

On continuera ainsi de façon à faire correspondre un plan, où sont tracées certaines sections, a chacune des racines a, 6, . . ., /. iJans le dernier plan /, il n'y aura qu'un seul système de sections comme dans le premier plan a. Pour tous les autres plans, il y aura deux systèmes de sections. Avec ces différents plans ou feuillets superposés, nous allons former une surface unique. Si l'on prend deux points m et m' de côtés différents d'une section A, infiniment rapprochés de celle-ci, et situés respectivement sur le feuillet a et le feuillet i, les deux valeurs correspondantes de u seront infiniment voisines Tune de l'autre; on obtient, en eflet, la

FONCTIONS ALGtBRlQDBS D'UKB VABIABLB. 3-yl

même valeur au point (m, m') {fig. 3g) cd partant de O avec la valeur a et suivant le chemin C, qu'en partant de O avec la va-

Fig. 3f).

leur b et suivant le chemin C. Imaginons donc que chaque seclion A soil une ligne de croisement pour les deux feuillets a et b, c'est-à-dire que l'on passe du feuillet a au feuillet b, et inversement, chaque fois qu'on traverse une section A. Par ce passage, )a continuité de la fonction u correspondante sera respectée. Nous établirons de la même manière des lignes de croisement entre le feuillet b et le feuillet c : ce seront les sections B. On continuera ainsi en établissant successivement des lignes de croisement C, . . ., K. entre deux feuillets consécutifs; l'avant-dernier feuillet /c sera lié au dernier feuillet / par les lignes de croisement K. L'ensemble des feuillets ainsi réunis peut être regardé comme formant une surface unique : on l'appelle la sur/ace de Riemann ('), correspondant à la relation algébrique /{u, z)= o. On voit que la fonction algébrique u est uniforme sur cette sur/ace de ftiemann; à chaque point de celle-ci se trouve associée une seule valeur de u, qui est la valeur correspondante au feuillet sur lequel se trouve le point que l'on considère.

Cette surface est d'ailleurs connexe, c'est-à-dire forme un continuum unique tel que l'on peut passer d'un quelconque de ses points à un autre quelconque de ses points, car on peut passer

(<) Le Mémoire fondamental de Rieniana où U doUoq du plan recoarert de reuillets a été introduite pour la première foi* est intitulé : Théorie der abelichen Functionen (voir U» Œuiiret complètes de Riemaon). Les surfaces de Hieminn ont été surtout étudiées en Allemagne. On trouvera dans le premier Chapitre de la Thèse de M. Simart (Paris, iS8i } un exposé très complet et trèt rigoureax des théorèmes relatifs i la connexité de ces surfaces, qni poor U plapart ne sont qu'énoncés par Riemann. Nous aurons â citer dans Clebsch et M. LUroth qui ont apporté une importante contribulion i U UtAq

37a CHAPITRE XIII.

d'un lacet à un autre en remontant ou descendant la chaîne que forment les feuillets successifs. Le théorème précédent, diaprés lequel les feuillets successifs d^une surface de Riemann peuvent être liés les uns aux autres de manière qu'il n'y ait de lignes de croisement qu'entre deux feuillets consécutifs, a été démontré pour la première fois par M. Luroth (Mathematische Annalen, t. IV).

16. Nous allons faire subir une transformation à la surface de Riemann que nous venons de construire. Notre but est de faire voir qu'on peut s'arranger de telle manière qu'il n'y ait qu'une seule ligue de croisement A, une seule ligne de croisement B, et ainsi de suite jusqu'à l'avant-dernier système de lignes de croisement : il y aura seulement, entre l'avant-dernier feuillet et le dernier, un certain nombre de lignes de croisement généralement supérieur à un.

Considérons six lacets consécutifs dont les quatre premiers per-

iTrà

mutent a et fr, et les deux derniers b et c. Marquons sur la figure ces six lacets {Jig' 4o)-

Nous allons d'abord faire passer au quatrième et cinquième rang le troisième et le quatrième lacet ab en les formant avec les lignes pointillées partant dans l'angle formé parles deux lacets bc. On voit immédiatement que les deux nouveaux lacets permuteront a et c.

Nous avons alors une nouvelle disposition que nous figurons de nouveau {Jig' 40* Nous y remplaçons les deux lacets ac par deux autres lacets obtenus au moyen des lignes pointillées et qui vont prendre le premier et le deuxième rang; ces deux nouveaux lacets, on le voit tout de suite, permuteront les racines b et r.

FONCTIONS ALGSBBIQIES d'uMK VAIUBLS. ^-ji

S deui transformations, deux lacets utifs ab et deux lacets coDsécu-

ic. On voit que deux lacets consécutifs ab ont élé remplacés leux lacets consécutifs l/c. On pourra ainsi faire disparaître les systèmes de deux lacets conséculifs ab, sauf un seul. I opérera de la même manière pour ne garder qu'un sysUmp eux lacets consécutifs bc, et ainsi de suite. Il n'y aura que les deux dernières racines qu'il sera impossible de faire une lie réduction ; nous aurons alors pour ces deux dcrnit^res ra-

un nombre, qui pourra être quelconque, de deux lacets ■cutifs.

venons à la surface de Riemann, construite comme nous ns indiqué plus haut, mais en employant ces nouveaux lacets. '. clair que le premier feuillet sera seulement lié au second me seule ligne de croisement; il en sera de même pour le iémc et le troisième feuillet, et ainsi de suite; les deux derfeuillels seuls auront entre eux un certain nombre de lignes oisemenl. Nous désignerons ce nombre par/> + 1. La possî-

de former une surface de Riemann, où les feuillets sont réu- ;s uns aux autres à la manière d'une chatne, et où chaque et, sauf les deux derniers, est réuni au suivant par une seule de croisement, a été Indiquée d'abord par Clebsch (Âlathetche Annalen, t. VI).

Nous avons désigné par p + 1 le nombre des lignes de :menl unissant le (m — 1 )'■"" feuillet au m'*"". On peut exprime suite p en fonction du nombre w des points de ramifica- Nous avons un nombre de lignes de croisement égal k m — t^p + i.

Ce nombre doit représenter la moitié du nombre des points de ramification ; d'où la formule

On peut encore exprimer p en fonction du nombre des points multiples de la courbe. On a en effet, comme nous Tavons vu (13)i

On en conclut

p i lé"'—^ —

18. La surface de Riemann S est, en définitive, une surface connexe, pour laquelle à chaque point correspond un seul point de la courbe algébrique, ou, si Ton aime mieux, un seul système de valeurs de x et y satisfaisant à la relation algébrique

Il est manifeste qu'une telle surface n'est pas unique. Toute autre surface que l'on pourra faire correspondre point par point à la surface S jouira de la même propriété que cette dernière. On aura, en particulier, une telle surface en déformant la surface de Riemann regardée comme flexible et extensible, en supposant, toutefois, qu'on ne produise pas de déchirures ni de duplicatures. Dans ces conditions, on peut regarder les deux surfaces ainsi transformées comme applicables Tune sur l'autre. D est clair que l'on ne prend pas le mot applicable dans le sens de la Géométrie infinitésimale. Il ne s'agit ici que de Géométrie de situation, analysis sitiis, comme disait Riemann, et nous voulons dire que la déformation continue, qui permet de passer d'une surface à l'autre, peut être regardée comme établissant une correspondance bien déterminée entre les points des deux surfaces (*).

(^) M. Jordan a publié des recherches imporlanles sur la déformation des surfaces entendue comme il vient d'être dit {Journal de Liouville, 2* série, t. XI; 1866). Il démontre, en particulier, que deux surfaces fermées ayant le même nombre de trous sont applicables Tune sur Tautre. Voir aussi, sur des questions analogues, deux Mémoires de M. Klein {Math, Annalen, t. VII et IX).

; ALGEBRIQUES d'cTIE VARriBLE. ^75

Nous allons donc faire subir à S une déformation qui aura le grand avantage de rendre plus objective la surface en la dilatant CD quelque sorte dans l'espace à trois dimensions (<).

Une première modification, qui ne modifie en rien le caractère de la surface de Ricraann, consiste à faire, par rapport à un point arbitraire de l'espace, une transformation par rayons vecteurs réciproques du plan sur lequel sont disposés les m feuillets. Au lieu de m feuillets plans, nous avons alors m feuillets sphériques superposés. Deux feuillets successifs de la spbère sont liés par une seule ligne de croisement, excepté les deux derniers, qui sont liés par p-i- I lignes de cette sorte.

C'csl la surface formée de ces m feuillets sphériques que nous voulons déformer. Considérons d'abord le cas simple où il y aurait seulement deux feuillets réunis par une seule ligne de croisement AB, que l'on peut supposer être une portion d'un arc de grand cercle. Nous avons alors deux feuillets, un feuillet interne et un feuillet externe. Déformons le feuillet interne en son symétrique par rapport au plan du grand cercle contenant AB; {dans cette déformation, les deux hémisphères de ce feuillet interne doivent, à un certain moment, se pénétrer l'un l'autre, mais cela a lieu sans que la continuité de l'un ou l'autre soit altérée. La modification que nous avons fait subir au feuillet interne a pour conséquence que, quand un point cheminant sur le feuillet externe rencontre la ligne de croisement, il reste du même côté de cette ligne après l'avoir traversée, la surface s'étant en quelque sorte repliée sur elle-même le long de la ligne de croisement. On aura une idée très nette de la nouvelle surface en considérant la surface de la sphère comme ayant deux cAtés, l'intérieur et l'extérieur; on passe de l'un à l'autre quand on rencontre AB, qu'on peut regarder comme une véritable section faite dans la surface. On peut agrandir le trou fait dans la surface par AB et le regarder comme formé par une courbe fermée, un

(<) C'est le géomètre angUis ClilTord qni parait aToir, le premier, remplacé la surface de Riemaan «ur le plan par une «arfaee t p trou dam l'cipace. Pour faire cette transformation, non» nous comme» servi de la méihode i|u'it » eni- ^ plojée dans un petit Mémoire, d'ane remarquable simplicité, couiêcri k cette théorie ( On tke eanorUcal form «nrf dissection ùf a Kiemann'» tur/aca (,Proceeding» of the London math*mtUicai Society, vol. VIII, a* 132}].

376 CHAPITIE XIII.

cercle par exemple. Notre surface se composerait alors des côlës in terne et externe d'une calotte sphérique. Mais nous pouvons encore modifier cette surface avec un trou. Cette double calotte peut être déformée en un disque plan que Ton considérerait comme ayant deux faces, le passage de Tune à Tautre ayant lieu par le périmètre du contour. De ce disque, si Ton veut, on peut encore faire une sphère et, d'une manière plus générale, une surface sans trou. On pourrait aussi passer de la double calotte à la sphère en ramenant, d^unc manière continue, la face interne delà calotte à la zone manquant dans la sphère.

Considérons un second cas particulier. Soient, toujours sur la sphère, deux feuillets, mais avec /? -f- 1 lignes de croisement. On peut évidemment, par une déformation préalable des feuillets, supposer que ces lignes sont situées sur un même grand cercle de la sphère. Nous pouvons alors appliquer au feuillet inténVur le même procédé que tout à l'heure, c'est-à-dire le remplacer par son image par rapport au plan du grand cercle contenant les lignes de croisement. On sera alors ramené à une double surface sphérique ayant p -\- 1 trous, et Ton passe du côté externe au côlé interne de cette surface par le périmètre de chacun des trous. Un de ces trous peut être supprimé, et nous pouvons convertir notre surface en un disque plan à deux faces, disque à l'intérieur duquel il reste p trous. On peut, si l'on veut, dilater les deux faces du disque, et l'on a finalement une surface avec p trous qui est applicable sur notre surface primitive de Riemann,

Abordons enfin le cas général. Les feuillets successifs seront dans l'ordre i , 2, . . . , m en allant de l'intérieur vers l'extérieur, et c'est entre les feuillets m — i et m qu'il y a /> -+- i lignes de croisement, et l'on peut supposer que toutes les lignes de croisement sont sur des grands cercles. Nous transformerons le premier feuillet en lui substituant son image par rapport au plan du grand cercle qui contient la ligne de croisement du premier feuillet au second, et, en opérant comme précédemment, nous pouvons substituer un seul feuillet à l'ensemble des deux premiers feuillets. Le même procédé peut être appliqué une nouvelle fois, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à deux feuillets ayant/? -f-i lignes de croisement. C'est le cas étudié ci-dessus, et nous arrivons à la conclusion définitive qu'w/ie surface de Riemann, à un

FONCTIONS ALGfiBHIQUBS d'uNB ViRIABLE. 377

nombre quelconque de feuillets, peut être appliquée sur une surface à p trous.

19. Nous avons supposé, dans ce qui précède, conformémeat uu théorème de Clebsch, (jue chaque feuillet est lié au suivant par une seule ligne de croisement. Il est aussi facile d'éludîer le cas général où, les feuillets étant toujours liés à la manière d'une chaîne, le premier est lié au second par /c, lignes de croisement, le second au troisième par kj de ces lignes, et ainsi de suite, le (m — I )''■"" feuille tétant lié au m''"" par ^n.t lignes de croisement. On peut faire subir aux. feuillets supposés sphériqucs les mêmes déformations. La transformation du premier feuillel amènera Xi — I trous; celle du second, di — i , et ainsi de suite. On transformera la surface en une surface à

k, +/ct+...+ k„-,~(m — i)

Irous. En désignant encore parp ce nombre de trous, on a

D'autre part, w désignant le nombre des points de ramification,

et la formule

déjà rencontrée au § 17, est donc générale.

20. Faisons quelques remarques très importantes sur les circuits qu'on peut tracer sur une surface de Biemann. Pour bien fixer les idées, nous pouvons prendre comme schéma de la surface, sur laquelle nous allons raisonner, un disque plat à deux cAtés et ayant p trous. Nous appelons circuit toute courbe fermée tracée sur la surface. Certains circuits, sur lesquels l'attention se porte d'elle-même, vont jouer dans la théorie un râle capital : ce sont les circuits qui tournent autour d'un irou et ceux qui passent à travers un trou.

Soit le disque A {Ji^- 4») ^ trois trous y, y') "f- '^° circuit autour du trou Y sera une ligne fermée C entourant une fois le trou Y- Ce circuit G, que nous avons tracé en traits plcini

3^8 GHAPITRB XIII.

considérer comme se trouvant sur le côté supérieur du disq Un circuit à travers le trou y sera un circuit tel que D coup une fois A et y, et se fermant sur le côté inférieur du disque pa ligne marquée en pointillé sur la figure. Nous pouvons de mé autour des trous y' et ^^ tracer les circuits C et Cf, et à trav

Fig. 4a.

Fig. 43.

ces trous les circuits D' et D". Ces six circuits vont jouer le de circuits fondamentaux , c'est-à-dire que tout autre circuit U" sur la surface peut être réduit, par une déformation continu coïncider avec un chemin formé de un ou plusieurs de ces cire et d'arcs parcourus deux fois dans des sens différents. La dém stration de ce théorème est immédiate. Remarquons d'al>o:«tl qu'un circuit tel que D"' {fig» 43) qui passe à travers les trou^ 7 et y se ramène de suite par une déformation continue aux de^Ji circuits D et D' parcourus dans des sens convenables, sans par* «r des arcs parcourus dans des sens contraires. En second lieu, to"wt circuit tracé sur un seul côté du disque se ramène à une sonaï^ne de circuits C, C, C". Enfin, pour un circuit quelconque, on considérera deux points de rencontre consécutifs de ce circuit avec une des lignes A, y, y, y". En associant à cette partie du circuit une ligne sur l'autre côté de la surface, formant avec elle un circuit à travers un ou plusieurs trous, on détachera déjà du circoJf total un circuit réductible aux circuits C et D, et l'on aura alors un nouveau circuit pour lequel on continuera la réduction jusqu ^ ce que le circuit, après ces soustractions successives, reste d'un même côté du disque, et, finalement, on aura bien ramené leci^ cuit primitif à une somme de circuits C et D, abstraction fait« d'arcs parcourus deux fois en sens inverse.

liS

FONCTIONS ILGËBRIQUES D'UKE TABUBLE. 379

Si, au lieu de trois trous, la surface avait/; trous, nous aurions évidemment/) systèmes de lignes CetD.

21. Nous arrivons maintenant au point fondamental dans la théorie des surfaces de Riemann. Donnons tout de suite une définition : une surface connexe est dite à connexion simple quand «Ile est limitée par un seul contour, c'est-à-dire un contour pouvant être parcouru d'un trait continu, et que tout circuit tracé sur la surface ne traversant pas le contour peut se réduire à un point par une déformation continue (le contour étant toujours respecté pendant la déformation).

Considérons l'ensemble des deux courbes C et D, et îmagîaons que l'on fasse (avec un canif) une section de la surface suivant chacune de ces deux lignes. Nous pouvons alors envisager chacune de celles-ci comme des lignes doubles infiniment rapprochées situées de part et d'autre de la section. L'ensemble des deux lignes doubles C et D forme alors une courbe unique, que l'on peut parcourir d'un Irait continu sans franchir jamais la section : c'est

ce qu'indique bien nettement X^fig. 44, que l'on regardera d'abord en faisant abstraction de la ligne ^f.

On désigne souvent sous le nom de rélroseclion {riickerschnitt) le contour unique, formé, comme il vient d'être dit, avec les deux bords des deux sections. Nous pourrons ainsi tracer /> rétrosectioQs sur la surface.

Joignons un point de la première de ces rétrosections à la seconde par une courbe le long de laquelle nous fendrons encore la surface, et qu'alors nous considérons encore comme une ligue double. Nous joindrons de même la deuxième à la troisième rétrosection par une ligne analogue , et enfin la (/> — i)''"" à la /J*™', les différenles lignes auxiliaires ne se coupant pas (elles pcnvrnl avoir seulement, si l'on veut, une extrémité commune).

Ainsi, on pourra prendre, si /? = 3, les deux lignes pq et rs ifig- 45).

Fig. 45.

L^ensemble des sections à deux bords, que nous venons de tracer, peut être regardé comme un contour unique et fermé K, susceptible d^étre parcouru dUtn trait continu, La fig", 44? o" nous avons figuré Tarrivéc de la section pq^ le montre d'une manière bien claire.

Le tracé du contour K n'empêche pas la surface de rester connexe, c'est-à-dire qu'on peut aller d'un point quelconque de la surface à un autre point quelconque sans traverser K. Il faut maintenant établir que tout circuit tracé sur la surface, ne rencontrant pas le tontour K^ peut se ramener à un point par une déformation continue.

Nous ferons cette démonstration , d'une manière pour ainsi dire intuitive, en reprenant le disque plat avec ses trois trous (pour fixer les idées).

Prenons comme lignes auxiliaires les deux segments pq et qs

Fig. 46.

de A {fg, 46)9 compris entre les points où les lignes D, qui sont

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB VARIABLE. 38 1

simplement figurées sur cette figure par des lignes droites sur la partie supérieure du disque, rencontrent A : quant aux lignes C, ce sont ici les périmètres y, y', y" des trous. Relativement à la partie restée libre ps de A, nous pouvons sans inconvénient la supposer rectiligne. Séparons alors les parties inférieure et supérieure du disque en faisant subir à Tune d'elles une rotation de deux angles droits autour de ps. Nous aurons alors la nouvelle figure ci-dessous {fig» 47)-

Fig. 47.

La surface est alors tout entière du même côté du plan; elle est limitée par le contour extérieur, et à l'intérieur se trouvent six trous, joints par des coupures à ce contour extérieur. On voit manifestement que tout circuit tracé sur le plan, ne traversant pas les lignes y et les coupures correspondantes, se réduira à un point, La figure donne l'exemple d'un tel circuit représenté par la ligne pointillée.

22. Les résultats que nous venons d'obtenir pour la surface dilatée dans l'espace s'appliquent immédiatement à la surface primitive de Riemann des m feuillets superposés, puisque ces deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre, au sens dont nous sommes convenus.

Prenons le cas de deux feuillets avec /? -4- 1 lignes de croisement. Gomme nous l'avons vu (§ 18), dans la transformation de la surface en un disque plat à p trous, une des lignes de croisement devient le bord extérieur du disque, et les/? autres deviennent les périmètres des trous. On voit donc de suite les circuits qui vont jouer sur la surface le rôle des lignes C et D. Autour de/> des lignes de croisement, traçons sur un des feuillets /> circuits :

382 CHAPITIB XIII.

ce seront les analogues des lignes C; on obtiendra les analog^ des lignes D en traçant des circuits rencontrant chacune ^d^ lignes précédentes et traversant la (/? -H i)""* ligne de croiseme :^'^^' Il ne reste plus qu'à joindre, à la manière d'une chaîne, chaci^V-Ki^ des rétrosections ainsi formées par des h'gnes analogues de p^^^) 7*5, .... On a alors sur la surface de Riemann un conter» mik unique K, et tout circuit tracé sur la surface et ne rencontrc^rr ^\\ pas ce contour peut se réduire à un point (point à distance fi» ^ ie ou à l'infini).

Soit, comme exemple,/? = 2. Nous aurons alors trois lignes ^iJc croisement A, et l'on construit de suite les rétrosections (C, EIZ^ V (C, D') qu'on unira par la ligne (a^) {Jig. 48). Ces rétros^ ^^c.

tions sont toujours à considérer, ainsi que a^, comme des li^x:^^^ doubles, ainsi que nous l'avons expliqué plus haut.

23. Nous possédons les notions essentielles sur les surfaces ^^ Riemann. Nous n'aurons maintenant aucune difficulté à suivr-^ '^ mouvement d'un point sur une telle surface. En tout cas, en ^^^' courant à la surface percée de p trous, dont le schéma es^ ^' simple, on a une représentation extrêmement précise qui perxi^^^ de voir directement les choses sans aucun effort.

Voici encore une remarque importante pour la suite : tout circ»*'* tracé sur la surface de Riemann, rendue simplement connexe p^** le contour K, peut être regardé, abstraction faite de chemins parcourus deux fois en sens contraires, comme une somme de ci^cuits respectivement tracés sur un seul feuillet de la surface, ^^ de circuits entourant un seul point de ramification.

H suffira, pour l'établir, de considérer le cas de deux feuili^^ .

PONCTIONS ALGEBRIQUES D*UNE VARIABLE. 383

:unis par p -\- 1 lignes de croisement. En se reportant à la S* Ajj où sont représentés les deux côtés du disque dédoublé, on 3it qu'un circuit tel que le circuit pointillé peut se ramener à ^6 somme de circuits, situés les uns à droite, les autres à gauche ^ ia droite joignant les points p et 5, et de circuits très petits îtourant les points de la droite />5 (s'il en existe) qui correspon- ^icnt à des points de ramification : c'est ce que nous voulions -onontrer.

IV. — Application des théorèmes de Cauchy aux fonctions de la variable complexe sur la surface de Riemann.

24. Nous nous sommes placé jusqu'ici uniquement au point ^ vue de la Géométrie de situation sur la surface de Riemann. OBsidérons maintenant une fonction de la variable complexe »r cette surface. Je prends d'abord une fonction uniforme dans ^c certaine région de la surface. Un point A sera un pôle pour ^c telle fonction s'il est un pôle pour la fonction considérée sur

feuillet où se trouve A, et nous n'avons aucune définition nou-

"e à donner. Une remarque doit cependant être faite pour le

s où A serait un point de ramification. Soit (a, b) ce point; on

't que y — b est développable suivant les puissances entières

■^^', en posant

^^s dirons que le point (a, b) est un pôle pour une fonction F ^^ forme dans la région considérée de la surface de Riemann, si ^O a, dans le voisinage de («, b)^ le développement suivant

Qp'm j^'/n— 1 * x't x'

^ développement représente bien une fonction uniforme sur la urface dans le voisinage de (a, b\ puisque, aux deux déterminations de \l X — a, correspondent les deux nappes de la surface. Ine sera pas inutile de chercher la valeur de l'intégrale

dx

circuits tracés sur une surface de Riemann. Quelques mots d' plication sonl nécessaires seulement pour les contours envel ^oppant un point de ramification. Pour voir, par exemple, que 1^^ intégrale prise le long du circuit C de \difig, 4g est nulle, qus=^ -nd F est une fonction uniforme et continue sur la surface à l'intéri ^cl, ur de ce contour, il suffit de reprendre l'égalité déjà écrite jt^Mus haut

et Ton est ramené dans le plan de la variable x' au théorème ordinaire de Cauchy.

Le théorème relatif aux résidus garde absolument la m^^ Mme forme; on aura soin seulement, si un point de ramification ^si un pôle, d'évaluer comme il a été dit au § 24 le résidu de ce p^^ ' ^•

Pareillement, la formule de Green s'appliquera sur le pl-sn multiple comme sur le plan simple. En un mot, toutes les fWzyrmules fondamentales de la théorie des intégrales curvilignes ^^ de celle des fonctions d'une variable complexe s'appHquero ^l sur la surface de Riemann comme sur le plan simple de Gauchi- J« si on les applique à des circuits ne traversant pas le coDtoixv* ^ qui rend la surface simplement connexe.

En particulier, nous prendrons souvent, comme circuit, le C5 treuil formé par les deux bords de la coupure K. L'aire lim î ^*^ par un tel circuit se compose alors de la surface de Riemann to^^ entière. Dans l'application des théorèmes de Gauchy à cette ai» *"^? il faudra avoir soin de considérer comment les fonctions étud î^^s se comportent au point à l'infini sur chacun des m feuillets. ^-^^ pourra d'une manière générale détacher de l'aire ces m poin 1-^ ** l'infini en traçant sur chacun des feuillets des circonférences ^^ très grand rayon, et Ton envisagera la portion de la surface ^^ Riemann limitée par Iv et ces m circonférences; il n'y aura pi ^^ qu'à faire augmenter ensuite les rayons de celles-ci indéfinime*^^*

27. Appliquons les considérations générales qui précèdent à ^^ démonstration du théorème suivant, qui est d'une applicatî^^" constante : Toute fonction uni/orme sur la sur/ace de fi^^' mann et restant toujours finie se réduit à une constante.

Nous supposons donc que, pour une fonction F n'ayant qu'u^^^

PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 385

à rÎDfini compris). Ecrivons donc

Ml -h Mj-h. . .-4- U„i = Rl(^),

int des fonctions rationnelles de x. On peut résoudre ces is du premier degré en W|, ^/o? •••^ Um\ on aura pour ces quantités, soit f/|,

rationnelle en x^ y^ , y^^ . . . , yn» De plus, cette fonction ;mment symétrique par rapport à y^^ y^^ . . . , ym» Or ces îttres sont racines de Téquation de degré m — i

\ coefficients sont fonctions rationnelles de j:ctj^|. On ic finalement

"1 = ?(^, ri)»

rationnelle en x et v'i, et, par suite, on peut écrire, en lant les indices,

pouvons donc dire que toute Jonction uniforme sur la de Riemann et n'ayant sur elle d\iu très points singule des pôles est une fonction rationnelle de x et y,

devenons à la surface de Riemann rendue simplement \ au moyen du contour que nous avons désigné par K. Nous il (§ 23) que tout circuit tracé sur la surface et ne rent pas K pouvait, abstraction faite de chemins parcourue

contraires, être regardé comme une somme de circuits îspectivement tout entiers sur un même feuillet ou de ciriveloppaol un seul point de ramification comme dans la

Il sera possible alors d'appliquer les théorèmei généraux :hj, relatifs aux intégrales prises le long d^an contour, aux — IL aS

388 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE.

28. Je terminerai en démontrant une inégalité fondamen due à Riemann, qui va jouer un rôle capital dans la théorie intégrales abéliennes. Si u -^ iv représente une fonction an lique uniforme et continue sur une certaine portion de la sur£ de Riemann limitée par un circuit F, ne rencontrant toujours le contour K, on a, diaprés la formule préliminaire de Green, d écrite plus haut,

la dérivée -j- étant prise dans le sens de la normale intérie Or on a, comme nous l'avons déjà vu à diverses reprises (t.

du dn

dv ds

dv

-r désignant la dérivée de v dans le sens positif sur le contou w Nous pouvons donc écrire

rintégrale curviligne dans le premier membre élant prise d le sens positif. L'inégalité

u dv > o

(îst alors évidente : c'est elle que nous voulions établir. Elle exclut complètement Tégalité à moins que u -+- iv ne se rédaî^^ à une constante.

Nous aurons bientôt à appliquer cette inégalité au contour K, mais il faudra toujours dans ce cas, si l'on veut être complet, considérer d'abord la portion de la surface de Riemann Wmitée par K et les m circonférences C dont nous avons parlé plus haut; on fera augmenter ensuite indéfiniment le rayon de ces demièref.