III. — DeB sorfaces de Riemana

\i. Joignons un poinl arbitraire O du plan à tous les points de ramification ; nous formerons ainsi un certain nombre de lacets se suivant dans un ordre déterminé. Pour fixer les idées, numérotons-les dans l'ordre où ils se présentent de la gaucbe vers la droite. Supposons que le premier lacet, le lacet i, échange en O les deux racines a et b. Si nous suivons tous les lacets successivement en partant de O avec la valeur a, nous devons revenir à cette valeur, au moins après avoir parcouru tous les lacets, mais ceci peut arriver avant que nous arrivions au dernier lacet.

Supposons, par exemple, que le lacet 8 soit le premier qui nous ramène au point O avec la racine a. Nous avons marqué sur chaque lacet les deux racines qu'il permute. Nous allons mo-

( ■ ) Nous admettons cette formule de Plucker, qui s'éublit de •oite e quant que la courbe x>f'j,-*- ytf'y-^ *•/■ — " ^< o «" V"'*^ malliple d'ordre 1 de/, un poinl multiple d'ordre 1 — i pour lequel auciiae tanieote ne coïncide arec une tangente de/, (Xf, y,, z, éunl arbîtrains}.

368 CHAPITRE XIff.

difîcr Tordre primitif des lacets. Il peut y avoir, en dehors des deux extrêmes i et 8, un certain nombre de lacets permutant a; il y en a deux dans la figure, les lacets 3 et 7. On va remplacer le lacet 8 par un autre lacet partant de O entre 1 et 2 el coupant

les lacets qui permutent a; nous figurons en pointillé ce lacet qui va remplacer 8. Quelles racines permutera le nouveau lacet ainsi obtenu? Celui-ci est équivalent a un chemin, formé d^abord des lacets a, 4» 5j 6 successivement parcourus qui ramènent manifestement la racine a quand on est parti au début avec cette même racine, et terminé par les lacets 8, 6, 5, 4? ^ qui ramènent en O la racine b. Notre nouveau lacet permute donc a et b.

On remplacera d'une manière analogue les lacets 7 et 3 qui permutent a, en les faisant passer à gauche du lacet 8, comme Tin- (liquent les traits pointillés. On voit tout de suite que ces nouveaux lacets ne permutent plus la racine a. Prenons, par exemple, le nouveau lacet 7. H sera équivalent au lacet ae, puis aux lacets am cl lie 'y or m est nécessairement difTércnt de e, car autrement 8 ne serait pas le premier lacet ramenant a. Il est alors évident que le nouveau lacet 7 revient au lacet «c parcouru deux fois, c'est-à-dire <|u'il ne permute pas a avec une autre racine.

Nous avons ainsi substitué aux lacets primitifs une nouvelle suite de lacets dont les deux premiers permutent a et 6; les autres lacets n'ont pas changé, sauf quelques-uns qui ont été remplacés par d'autres lacets ne permutant pas a.

Partant maintenant toujours avec la valeur a^ mais en commençant par le second lacet de notre nouvelle suite, nous allons faire