II. — Le théorème d'Abel

5. Abel a donné sur les intégrales de difierenlielles algébriques une proposition fondamentale, sur laquelle sont revenus un grand nombre de géomètres. Nous allons, pour le moment, nous borner à la faire connaître, sous la première forme que lui a donnée le grand géomètre norvégien, dans son Mémoire célèbre sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes (*). Sous cette forme, le théorème paraît tout à fait élémentaire, et il n'y a peut-être pas, dans l'histoire de la Science, de proposition aussi importante obtenue à l'aide de considérations aussi simples.

(») Œuvres complètes d'Abel (l. I, p. i45).

Partons toujours de la relation algébrique

cl soit considérée une famille de courbes algébriques

(5) ^(ar,7,ai,aî, ...,ar) = o,

dépendant de r paramètres arbitraires ^i , a^, • • • , ar» Oq suppose que X contienne rationnellement ces paramètres. Les courbes (4) et (5) ont un certain nombre de points communs en nombre a

variables avec les arbitraires a. Les Xi, Xo, . • ., x^ sont racine^ d'une certaine équation de degré (x

(6) 0(a-, a,,ai, ...,0,.) = 0,

dont les coefficients sont rationnels par rapport aux a, et, si les axes n'occupent aucune position particulière par rapport aux deux courbes, on peut toujours admettre que la valeur correspondante de^ est donnée par

à étant rationnelle en x, «1 , . . . , Or-

Ceci posé, prenons une intégrale abélienne quelconque

, (Jr, y]

(•Tt. J'o)

et formons la somme

2/» V-»fn7n' / \{{x,y)dx.

Celte somme est déterminée, à une somme de multiples près des périodes polaires ou cycliques de l'intégrale, périodes indépendantes des a. L'objet du théorème d'Abel est de déterminer la nature de celte somme envisagée comme fonction des paramètres a. En désignant par la lellre 0 une différentielle totale par rapport à ces paramètres, nous aurons

ôS = H(x,,^,)o-ri-4-. ..-\-^{x^,y^)lx^.

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. SqS

Or, en différentiant la relation (6), on calcule de suite SjTi, 3^2? ' • "f ^^\i' E^ substituant dans l'expression de SS et remplaçant les j^ par leurs valeurs ^, on aura pour coefficient de 8ai une ronction rationnelle de Xt^ ..., x^ el des a; de plus, elle sera évidemment symétrique par rapport aux x, et, par suite, le coefficient de Sai sera une fonction rationnelle des a, et il en est de même des autres coefficients. On a, par suite,

oS ^ Pi (ai, ..., a/.) 8ai-+- Pî(ai, ..., O/.) Oâtj-f- ... -h Pr(ûfi, «j, ..., Or) oa^

es P étant des fonctions rationnelles de ai, a^j . • ., a^.

L'égalité précédente constitue le théorème d'Abel sous sa ^orme primordiale : elle exprime que S est une fonction algé- ^rico-logarithmique des paramètres a. En effet, l'intégration de SI différentielle totale qui figure au second membre conduira nécessairement à une expression de la forme

Les A désignant des constantes, f et les ^ représentant des fonctions rationnelles des a.

On peut donner des formes plus précises à l'énoncé du théorème d'Abel ; nous y reviendrons à la fin de ce Chapitre.

6. Nous considérerons dans un moment, sous le nom d'intégrales de première espèce , les intégrales abéliennes

restant finies pour tout point {x^y) de la surface de Riemann. Cherchons ce que devient, pour une telle intégrale, le théorème d'Abel. La fonction algébrico-logarithmique des a qui représente S devra rester finie pour toute valeur finie ou infinie des paramètres a, puisque S reste lui-même toujours fini. Or une fonction de la forme

?(«)-+-y!AIog4>(a), où ç et les ^ représentent des fonctions rationnelles de a et les A

des constantes, ne peut rester finie pour toute valeur finie ou infinie du paramètre a que si elle se réduit à une constante. lien résulte que la somme S ne dépend pas des paramètres a.

On peut, par suite, pour les intégrales de première espèce, énoncer, sous la forme suivante, le théorème d'Abel : La somme

(•«■ii. y h)

OÙ {Xnt yn) désignent les points de rencontre, variables avec les a, des courbes {/\) et {b) ne dépend pas de ces paramètres, Klle a une valeur constante, abstraction faite, bien entendu, de sommes de multiples de certaines périodes fixes qu^on peut toujours introduire en faisant varier le chemin qui va de (j:©, y%)^ {^ri'i Vn)' Ce cas particulier du théorème d'Abel joue dans la théorie des courbes algébriques un rôle fondamental. On peut encore le mettre sous la forme suivante

les d désignant des difTérenliellcs totales par rapport aux paramètres a.

III. — Des intégrales de première espèce. Nombre de ces intégrales

linéairement indépendantes.

7. Les intégrales que nous avons désignées sous le nom dV/itégrales de la première catégorie peuvent se diviser en deux espèces. Les intégrales de première espèce sont celles qui restent finies en tout point de la surface de Kiemann. Les intégrales de seconde espèce deviennent infinies au moins en un point; elles n'ont d'ailleurs pas de points singuliers logarithmiques, et les points où elles deviennent infinies sur la surface de Rieraann sont des pôles

Nous allons nous occuper dans cette section des intégrales de première espèce. Cherchons tout d'abord la forme nécessaire d'une telle intégrale dont l'existence n'est pas évidente a priori. D'après ce que nous avons dit (t. I, p. 52), toute intégrale abélienne peut se mettre sous la forme d'une somme d'intégrales de

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 897

la forme

Q(x,y)dx

/V{x,y)dx r \x-a)^fy J

fy

P et Q étant des pol^riômes de degré quelconque en x et y. La première intégrale pourrait devenir infinie pour x^=a\ aucune autre intégrale, dans la somme qui forme l'intégrale étudiée, ne pouvant devenir infinie pour j: = a, il n'est pas possible qu'il y ait de réduction, et, par suite, toute intégrale du type

P(ar, v) dx

se présentant dans la somme, doit rester finie pour x = a. Nous avons donc à chercher à quelles conditions l'intégrale précédente restera finie pour x = a. Enonçons tout de suite le résultat : il faut que

puisse se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y^ en supposant, bien entendu, x ely liés par la relation /(jc,j-) =o.

Pour le démontrer, nous avons à distinguer différents cas suivant que la droite x =^ a rencontre la courbe en m points distincts, lui est tangente ou passe par un point multiple. Dans le premier cas, il est clair que le polynôme P(j?, ^) devra s'annuler pour

en désignant par j'i, ^21 •••> J^m les ordonnées des m points de rencontre de x ^= a avec la courbe /(ar, j^) = o. 11 en résulte que

peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y. On peut s'en convaincre en écrivant

'ù étant un polynôme; or V{a^ y) sera divisible par

et comme, d*autre part, on a

f(^^y) = {y —ri ) . • • (7 — ^m) -<- (^ — «) 7i(^»>^) = <>,

le résultat énoncé devient évident. On sera donc ramené à une forme analogue, où a est remplacé par a — i , et, en continuaDi ainsi de proche en proche, on sera ramené au cas où le dénominateur a disparu.

Soit maintenant la droite x=^a tangente à la courbe. Nous avons alors les ordonnées

dont la première est supposée correspondre au point de contact. On aura d^abord nécessairement

mais je dis de plus que^i doit être racine double de P(a,^^*); on voit en effet tout de suite, dans l'hypothèse contraire, que l'intégrale devient infinie pour x = a, ^ =^|. Le polynôme P(x,/) est donc divisible par

(7 — 7i )' (r —y\ ) • • • (7 —ym-\ \

et comme on peut écrire

f^^^y) = (r — ji )' {y — Jî) • • • iy — r^-i) -+- (^ — «) ^(^x,y) = o,

'} étant un polynôme, il en résulte encore que

pourra se mettre sous la forme d'un polynôme en x et j^, et Ton peut achever le raisonnement comme plus haut.

Il ne nous reste plus qu'à supposer que la droite x = a passe par un point multiple d'ordre i. Ce point est par hypothèse à tangentes distinctes, et l'on peut supposer qu'aucune d'elles n'est parallèle à Oy,

Désignons par ^i, j'o, ..., ym-i les ordonnées des points simples de rencontre de la droite x-=a avec la courbe, et soil (a, 6) le point multiple. On montrera encore que P(«, ^) s'an-

DBS INTÉGRALES ABÉLIENNBS. 899

luIe pour 6, jKi,^2> • • • > ym-i- De plus, b doit être racine mulîple d'ordre «pour P(a, y); sinon l'intégrale deviendrait infinie u point multiple, quand {x^y) se rapproche de ce point, sur me au moins des i branches qui s'y croisent. Pour le voir bien teltement, écrivons

\\ le développement de P(a,^) suivant les puissances de {y — b) le commence pas un terme de degré au moins égal à i^ il y aura :ertainement, dans un au moins des développements de V{x^y) elatifs aux diverses branches, un terme de degré moindre que i en & — a. L'intégrale deviendrait certainement alors infinie au point iiultiple pour une au moins des i branches. La démonstration ^'achève alors tout de suite en remarquant que l'équation de la -ourbe peut s'écrire

{y — by {y — vi) . . . {y —ym-i) 4- (a? — a)^(x,y) = o,

d'où il résulte que

est un polynôme en x et y^ et la réduction s'effectue de proche en proche.

En résumé, les intégrales de première espèce sont nécessaire-

^nent de la forme

^{3r,y)dx

J fy

^(^r^y) étant un polynôme,

8. Cherchons donc à quelles conditions ces dernières intégrales esteront finies sur toute la surface de Riemann. Elles pourraient levenir infinies pour les points correspondant à

^es points sont de deux sortes. Il y a d'abord les points de ramiicaiion : mais on voit tout de suite que l'intégrale restera finie en »n tel point (a, b). On a en effet, en ce point, d'après nos hypo-

/jOO CHAPITRE XIV.

ihèscs qu'il est inulile de rappeler, le développement

A étant différent de zéro; l'intégrale reste donc finie.

Il j a en second lieu les points multiples. On a ici pour chaque branche un développement de la forme

Donc Q(^,J^) devra contenir en facteur (x — «)'"• quand on

substituera -a y les i développements relatifs aux i branches. Par

suite, Q(-c,^), développée suivant les puissances.de x — a e\

y — 6, devra commencer par un terme de degré i — i ; en d'autres

termes, la courbe

aura le point {o^b) comme point multiple d'ordre i — i. Cette condition est nécessaire et suffisante pour que l'intégrale reste finie en (a, b),

11 faut maintenant considérer les points à l'infini. Nous pouvons, en nous servant de l'équation /=o, mettre Q(^,Jk) ^ous la forme

les o étant des polynômes en x de degré quelconque. Pour j: tn*» grand, nous avons d'ailleurs les développements

y = AiX -h OLi-h - — - . . . ( 4 = I o . . . , /w K

les ki étant tous différents. 11 en résulte que, pour toute branclu' de la courbe à l'infini, le produit

ne pourra pas rester fini quand x grandira indéfiniment, si o, et 3i ne sont pas identiquement nuls. A la vérité, ceci pourrait arriver pour certaines branches, mais non pour toutes, sans que o, et s* fussent nuls identiquement, puisqu'en posant ^' := A\r les coefficients des diverses puissances de x dans le développement de (71

DES INTÉGRALES ABÉLIENKES. 4oi

sont des polynômes de degré m — i en A*. Or on exprime la condliion nécessaire et suffisante pour que l'intégrale reste finie pour ^ = X), en écrivant que l'expression (7) reste elle-même finie. On doit donc avoir

les '^ étant des polynômes. En raisonnant de la même manière, on voit tout de suite que '^q doit se réduire à une constante, fpi à un polynôme du premier degré, et ainsi de suite. Par conséquent, Q(j:, j^) est un polynôme de degré m — 3 en j: et j^

En résumé, la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale

soit de première espèce peut être ainsi formulée : Q(^:i j>') est un polynôme de degré ni — Z en x et y et la courbe

ff pour points multiples d^ ordre i — i les points multiples d'ordre i de la courbe /.

9. Un premier point très important est relatif au nombre des intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Que doit-on entendre d'abord par intégrales linéairement indépendantes? Soient

/-" -^^ Q^U,j2^x r^'^'-y^ q^{x.y)dx /•^•••^' (i,(x,y)dx

r intégrales de première espèce. Nous dirons qu'elles sont linéairement indépendantes si l'on n'a pas entre elles de relations

A, / Y< ^+-...-t-Arl - jr» - «J^H- A;.+.| — o,

les A étant des constantes. Ceci revient à dire que Ton n'aura pas d'identité de la forme

(S) AiQi(a",7)-f-.. .4- ArQr(>r,^v) = o.

403 CHAPITRE XIY.

(les A étant constants), pour tout point (x, ^) de la courbe/. D'ailleurs si Ton a des polynômes Q pour lesquels une idenlilr de la forme précédente ne puisse avoir lieu quand jceljr sont regardées comme des variables indépendantes, il ne pourra exister entre eux une telle identité quand le point (j^jy) sera quelconque sur la courbe/; c'est une conséquence nécessaire de l'irréductibilité de cette dernière et de ce que le degré des Q est inférieur à m. On peut donc dire que les intégrales sont linéairement indépendantes si les polynômes Q à deux variables indépendantes X et y sont linéairement indépendants, c'est-à-dire s'il n'existe pas entre eux de relations de la forme (8) où les A soient des constantes.

Cette définition posée, remarquons que : avoir un point multiple d'ordre i — i en un point donné revient pour une courbe k

conditions. Or le polynôme général de degré m — 3 renferme

(//i — i)(m — 2) ce ' ^ ^ » L coetficients, et nous avons entre eux un nombre

d'équations de conditions égal à

a/ désignant, comme précédemment, le nombre des points multiples d*ordre /. Si l'on suppose que ces conditions ne se réduisent pas à un nombre moindre, on aura

ai , c est-a-dire p

intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Pour énoncer la conclusion précédente, nous avons dû supposer qu'il n'y avait pas de réduction dans le nombre des coefficieDt$. En toute rigueur, nous pouvons seulement dire pour le moment que le nombre des intégrales linéairement indépendantes est nu moins égal à p.