Le résultat précédemment énoncé est cependant exact

DBS INTÉGRALES ABÉLIE5NES. ^oi

sans reslriclion. Il est nécessaire de le démontrer en toule rigueur : c'est ce que nous allons faire en nous servant du ihéorème d'Abel (*). Supposons qu'il y ait plus de p intégrales de première espèce linéairement indépendantes. Je prends p points arbitraires a^^ «21 •••> <^p sur la courbe /*; par ces points passe au moins une courbe Q, puisque, dans l'hjpothèse où nous nous plaçons, la courbe générale Q renferme au moins p + 1 coefficients arbitraires. Or toute courbe Q rencontre, en dehors des points multiples, la courbe/ en

m(m — 3) — ^a//(i — i) ou 2/? — 2 poi

nts.

La courbe Q passant par a^, aa, . . . , ap rencontre donc, en dehors des points multiples, /en jo — 2 points, que nous désignerons par 6,, ^2? • • • > l^p-2' Par ces derniers points, passe un faisceau F de courbes Q comprenant en particulier la courbe d'abord considérée. Appliquons le théorème d'Abel aux points de rencontre variables du faisceau F avec la courbe/. Nous aurons, en désignant ces points par

et prenant/? polynômes Qi, Q2, ..., Qp linéairement indépendants,

égalités qui expriment le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce. Nous tirons de là la relation

QiC^i.ri) Qi(^î,7î) ••• Qii^p^yp) Qî(^i,ri) Qî(^î»7î) ••• Qi(^pyyp)

Qpi^i^yi) Qp(^i^yt) ••• Qp(^pyyp)

Cette relation doit être identiquement vérifiée, c'est-à-dire quels que soient les points (xi,j^4), (0:2,^^2)7 > {^p^y?) sur la

( ' ) E. Picard, Sur le nombre des intégrales abéliennes de première espèce {Bulletin des Sciences mathématiques, 1890).

|04 CMAPITU IIT.

courbe; puisque, pour une certaine courbe du faisceau F, ces points coïncident avec les points arbitrairement choisis ^i, as, .-'i fip. Mais ridentité précédente exprime que les polynômes Qh Q29 • • -r Q/» ^^ ^^"^ P^^ linéairement indépendants; c'est ce que Ton voit en développant le déterminant par rapport à la premi^i^ colonne. A la vérité, ceci suppose que tous les mineurs du pr^' mier ordre qui formeront les coefficients de ce développement «^^ soient pas nuls; mais, s'il en était ainsi, on serait ramené au o^^ de/> — I polvnômes Q sur lesquels on raisonnerait de la mêc*^^ manière et finalement on arrivera à une relation homogèDe ^^ linéaire entre certains polynômes Q où tous les coefficients seront pas nuls puisque, à la fin, on aura comme mineurs les p lynômes Q eux-mêmes. Ainsi nous arrivons à la conclusion q les polynômes Q ne sont pas linéairement indépendants : cet contradiction démontre le théorème. Nous pouvons donc affirm-* cju'iV y a p intégrales de première espèce linéairement indm pendantes (*).

H. Nous désignerons dans la suite les courbes

sous le nom de courbes adjointes d'ordre m — 3 (2). D'une ms nière plus générale, une courbe sera dite une courbe adjointe à si elle a pour point multiple d'ordre 1 — i tout point multip d'ordre i Ae la courbe/. Outre les adjointes d'ordre ni — 3, noi aurons à considérer dans la suite les adjointes d'ordre m — 2. L

polynôme adjoint sera le premier membre de l'équation d'ui courbe adjointe.

Faisons la remarque importante qu'iV n'y a pas sur la courbe ^^ rn dehors des points multiples y de points communs à tout '^^

(*) On peut établir ce théorème fondamental en restant au point de vue ^ ;;él)rique; c'est ce que font MM. Brill et Nôther dans leur mémorable Mémo: Sur les fonctions algébriques {Math. Ann., t. VII). Nous donnerons encore § Vl une autre démonstration de ce même théorème.

(') Nous ne nous préoccupons nullement ici d'une question d'ordre en qu> <iuc sorte pratique, je vcu\ dire la formation effective, pour une équation doni / .- o, de ses adjointes et la détermination dans ces conditions du genre de courbe. On pourra consulter sur ce sujet un intéressant Mémoire de M. L. Rî {Afat/i. Annalen, t. WIII) cl un travail de M. Nothcr.

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4o5

les adjointes d^ ordre m — 3 (*). J'emploierai encore à cet effet le théorème d'Abel.

Prenons, sur la courbey, /? — i points arbitraires a,, aa, ..., a^, . Par ces points, on peut faire passer au moins une courbe Q ; celle-ci, en dehors des points multiples et de ces p — i points, rencontre encore la courbe en p — i autres points parmi lesquels doivent se trouver les \ points (^]> o) que, par hypothèse, contiennent toutes les adjointes. Il reste donc p — i — X points par lesquels nous pouvons faire passer un réseau d'adjointes. Aux p — I points de rencontre variables (Ç|, r^i). . .(Ç;,i, t\p-\) de ce faisceau avec la courbe, appliquons le théorème d'Abel pour p — I intégrales distinctes de première espèce. On en déduira immédiatement

Qi({i,T^ii) .-. Qi(Ç/»-i,TQp-i) QîC^ijTr^i) ... Qj({p-i,')/i-i)

Q/»-i({i,^i) ••• ^p-xdp-i'i'^p-ï)

et Ton aura là une identité puisque les/? — i points ($, vj) coïncident dans une position particulière avec les/> — i points a pris arbitrairement. Mais ceci est impossible, comme nous l'avons déjà dit, si les polynômes Q,, Q2, ..., Qp i sont linéairement indépendants.

IV. — Théorèmes fondamentaux sur les intégrales de première espèce. Intégrales normales.

12. Revenons aux périodes des intégrales de première espèce. Les périodes d'une telle intégrale

peuvent être désignées par

(*) MM. Brill et Nôther démontrent {loc. cit.) ce théorème en se serrant du théorème de Riemann-Roch.

4o6 CHAPITRE XIY.

en représentant par cj et d^ les valeurs de Tintégrale prise respectivement le long des coupures Da et Ca-

Nous avons dit que ej[ était la période correspondant à Ca et d^ la période correspondant à Da. Les sens suivant lesquels sont pris c\ et dj^ sont tout à fait arbitraires. Faisons donc seulement une convention pour fixer les idées. On forme le contour K dont nous avons déjà tant de fois parlé; ce contour se compose, outre les rétrosections, de p — i coupures joignant deux à deux, à la manière d^une chaîne, les coupures D.

Considérons une des extrémités de cette chaîne. Je fixe un sens sur Df, marquant la (lèche du côté de la coupure sur lequel ne s'insère pas la coupure auxiliaire qui joindra D| à D2. On suit alors, dans le sens indiqué, le côté considéré de D| ; on rencontre

Fig. 5i

fsn.

C| et il s^ensuit un sens pour C^, Nous continuons maintenant le contour K, et les sens dans lesquels nous parcourons respectivement Da et Ca, à l'arrivée sur la seconde rétrosection, sont ceux que nous fixons sur celle-ci pour évaluer les intégrales c* et dty et ainsi de suite.

Ces définitions posées, nous allons établir une inégalité fondamentale d'où se déduiront les conséquences les plus importantes pour les périodes des intégrales de première espèce. Considérons d'une manière générale une intégrale de première espèce

J Jy

y)dx

aux périodes Ch et c^a- Je mets l'intégrale sous la forme

DBS INTÉGRALES ABÉLIKNMBS. [\0'J

et je pose

Ch = c'n -f- ici, <^h = d), -h id%.

En appliquant le théorème démontré à la fin du Chapitre précédent (§27), nous sommes assuré que l'intégrale

étendue au contour K, est dift'érente de zéro. Elle est positive si le sens choisi sur le contour K correspond au sens positif sur les feuillets ; c'est ce que nous pouvons supposer. A la vérité, comme nous Tavons dit, une petite discussion est nécessaire, en appli- (|uant ce théorème et les théorèmes analogues établis (loc. cil,), pour les points à Tinfini et pour les points de ramification. Ici on se rend compte tout de suite que l'intégrale précédente pour un circuit infiniment grand sur un feuillet quelconque est nulle,

puisque X est fini à Tinfini et que -^ est infiniment petit comme

— , tandis que ds contient seulement p en facteur (pétant le rajon du cercle d'élément ds grandissant indéfiniment). Quant aux

points de ramification, on voit immédiatement que -j- est do

l'ordre -p> tandis que ds est de l'ordre de r, en désignant par /*

la distance du point variable au point de ramification, dislance qu'on fait tendre vers zéro.

Ecrivons donc

Nous allons évaluer cette intégrale. Les fonctions réelles X et Y admettent respectivement les périodes c^, d'^ et cj[, d^. Nous avons dit que les périodes correspondant aux coupures auxiliaires joignant les rétrosections étaient nulles (§2)^ les intégrales relatives à ces coupures sont donc nulles, leurs éléments se détruisant deux à deux. Nous pouvons, par conséquent, faire abstraction de ces coupures, et nous n'avons qu'à évaluer l'intégrale précédente sur chacune des rétrosections. Prenons, par exemple, la rétrosection (l)i. Ci); soient fn et m' deux éléments se correspondant des

4o8 CHAPITRE XIT.

deux côtés Je la coupure D|, rélémenl m élanl sur le côlé de la

coupure auquel correspond la flèche. Nous aurons pour éléments

de l'intégrale

en m XrfY

en m' -(\->rd'^)d\ :

pour le second élément, X est en effet devenu X H- d\ et le signe a changé, les éléments m et m' étant parcourus en seas inverse. JVous aurons donc pour la somme

et il faut faire la somme de cette expression pour les éléments ///, ce qui donne immédiatement

Prenons de même deux éléments/? et/?'; on aura pour éléments de rintégrale

en/? \d\

cnp' --(X — c\)d\

dont la somme donne c\ dX qui, intégrée pour les éléments /?, conduit de suite à

La première rétrosection donne donc, comme valeur de l'intégrale cherchée,

Nous avons pat suite V inégalité Jondamenlale

h=p (lo) ^{c'^dl^cld'^)>o.

et, je le répète, cette inégalité exclut Tégalité.

Je tirerai de suite de celte inégalité une nouvelle démonstration du théorème démontré dans la Section précédente et relatif au nombre des intégrales linéairement indépendantes. Ce nombre ne peut être supérieur à /?, car, s'il en était ainsi, on pourrait former une intégrale de première espèce, ne se réduisant pas à une

DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 4o9

conslanle, et pour laquelle les périodes relatives aux coupures D se réduiraient à zéro; ce qui est incompatible avec l'inégalité précédente.