Terminons en faisant la carte de Fellipsoïde

T>1 1^2 zt

Nous prendrons les coordonnées elliptiques X et (x sur cette surface. Le paramètre X, supposé compris entre — a^ et — b'^^ correspond à rhjperboloïde à deux nappes

ar« V* z*

ai^-X 6«-hX c«-.-X

;jL, compris entre - b^ et — c^, correspond à Thyperboloïde à une

nappe

Les trois équations précédentes donnent

Calculons

ds^ = dx* -+- dy'^ -^ dz^\

on a

dx dX du.

dy __ éA <ijji

dz d\ du.

^ C*H-A C*H-JJL

Cl, par conséquent, en posant

(a«-4-X)* ' (6«-T-X)* (c*-hX)« . ar* r' z^

Pour calculer rapidement M| et M2, opérons comme le fait Jacobi {Vorlesungen ilber Dynamik), Soit

on a

(()m\ rr* y* -5* -

ài/t^X (a«-i-X)« (6«-i-X)« (c»-+-X)«

Mais, d'autre part, u{t) s'annulant pour ^ = 0, ^ = X, /= jjl, on peut écrire

donc

Ainsi

/du\ ^ X(X-}i)

' (a«-f-X)(^«-f-X)(c«H-X)' ' (a«-T- {i)(6*-i-fi)(c»-t- fi)

Nous avons donc

'L(o*-+-X)(6«H-X)(c«-f-X) (a«-t-ti)(6«-f-iJL)(c«H-ti) *^ J

Celte formule permet d'obtenir immédiatement une carte géographique de l'ellipsoïde. 11 suffît de poser

[X)(^»-+-fJl)(C«H-fX)

dix.

Les deux systèmes de lignes de courbure de la surface, correspondant k'k = consl. et jji = const., seront représentés sur la carte par des parallèles aux axes de coordonnées.