IV. — Carte d'une surface

21 . On appelle carte géographique d'une surface la représentation d'une surface sur un plan, de telle sorte qu'à chaque point du

(•) H. Poincaré, Mémoire sur les groupes kleincens {Acta matkematica ^ t. III).

plan corresponde un point de la surface. Les cartes les plus intéressantes sont celles dans lesquelles les angles sont conservés, c'est-à-dire dans lesquelles Tangle de deux lignes quelconques dans le plan est égal à l'angle des lignes qui leur correspondent sur la surface : dans ces conditions, les parties infiniment petites sur la surface et sur la carte sont semblables.

Soit

ds^ = E rfw» H- aF û?a û?p -f- G dv^

le carré de l'élément d'arc sur la surface. Si l'on exprime a et ^ en fonction des coordonnées rectangulaires X et Y sur le plan de la carie, on doit avoir (§ 2)

E </a«-H 2F dudv-^G dv^ r= X(^«-i- dY^)

égalité qui exprime que les carrés des éléments linéaires sur le

plan et sur la surface sont proportionnels. Le problème des cartes

géographiques revient donc à exprimer u et ç en fonction de X et

Y, de telle sorte qu'à un facteur près la forme qui représente ds^ se — j — t

réduise à dX. -1- dY .

Cette réduction, comme Lagrange l'a montré, peut être faite d'une infinité de manières. 11 est évident, a priori, que d'une carte on déduira toutes les autres, en effectuant sur cette carte une transformation quelconque conservant les angles, transformation étudiée dans la Section IL Pour démontrer la possibilité de la réduction annoncée, il faut nous appuyer sur le résultat suivant, que nous aurons à reprendre avec plus de détail dans la théorie des équations du premier ordre.

Étant donnée une expression

P dx-hQ djr,

où P cl Q sont des fonctions quelconques de x et y^ il existe une fonction [x de x et j^, telle que

ILiydx-^C^dy)

soit une différentielle totale. Il faut et il suffit pour cela que

^d^L ^dii /dP dQ\

On n^aura aucune difficulté à admettre pour le moment qu'il existe une fonction \l de x et y (et même une infinité) satisfaisant à cette unique équation. On appellera (x un facteur intégrant de l'expression P dx H- Q dj'.

Ceci posé, reprenons

dsi ^. E e/a«-+- iFdudi>-hG dv^ (EG — F« > o).

Nous pouvons décomposer cette forme quadratique en du et ds?

en un produit de deux facteurs qui seront imaginaires conjugués.

Soit

ds^— { a du -\- b dv) {a! du '\- b' dv)\

a et a', b et b' sont des fonctions imaginaires conjuguées des deux variables réelles u et r. L'expression

a du -\- b dv

admettra un facteur intégrant que nous écrirons sous la forme m -h /i/, en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire. On a donc

( m -f- ni) {adu-^ b dv) = d\ - i dY,

X et Y étant deux certaines fonctions de u et ç. Pareillement,

( m — ni) (a' du ~- b' dv)z= dx — i d\ ; par suite.

Les deux fonctions X, Y de w, v établissent donc la correspondance cherchée entre les points de la surface et les points du plan (X,Y).

La recherche du facteur intégrant exigeant, en général, l'intégration d'une équation du premier ordre, le calcul précédent donne seulement la démonstration de la possibilité théorique de la réduction.

22. Prenons quelques exemples simples. Proposons-nous de faire la carte d'une sphère; en la rapportant à son centre et désignant par 'i et 6 la longitude et le complément de la latitude d'un

point (x, y^ s), nous avons

ar = R sinO cos^', y — h. sinO sin^, z = R cos6,

R étant le rayon de la sphère. On a de suite

Pour ramener ds^ à la forme ix(rfX2 j rfY^), nous pouvons écrire

ds^ = R« sin«e f -^ -h £/d;«V

Il suffît alors de poser

d\= 4\, dY = d^, sinO

ce qui donne

X=logtang-i Y = ij/.

On a alors une Carte dans laquelle les parallèles et les méridiens sont représentés par des parallèles aux axes de coordonnées. C'est la carte de Mercator.

Une autre carte de la sphère peut être obtenue de la manière suivante. Écrivons ds^ sous la forme

ds^ =1 4 cos^ - / g H- R* tang* - d^^

Si l'on pose p := R tang -> on aura alors

mm

ds^ = 4 COS^ - (rfpJ-4- p« û^^î).

La quantité entre crochets représente le carré de l'élément linéaire dans un plan, rapporté aux coordonnées polaires (p et ^). Par conséquent, si l'on pose

X = pcos4', Y = psin4',

on aura

C^5« = 4 cos* - ( Û?X« -H rfY«),

forme correspondant à une carte géographique. Il est facile d^inlerpré ter géométriquement le résultat qui précède. Prenons la projection stéréographique sur le plan de l'équaleur, le point de vue étant au pôle austral sur la sphère. Si a est la projection stéréographique du point A(8, '^), on aura évidemment

Oa ::= U tang-'

Les coordonnées polaires du point a dans le plan sont donc

Rtang- et 4. La carte que nous avons obtenue n'est donc autre

que la carte par projection stéréographique : le calcul précédent conduit à ce résultat bien connu que cette transformation conserve les angles.