DES INTÉGRALES MULTIPLES

I. — Définition et propriétés fondamentales des intégrales multiples.

1. D\iDe somination double, on passe tout naturellement aune sommation d'un ordre n de multiplicité étendue à n variables. Prenons d'abord le cas de trois variables x, j-, z et considérons .r, >', z comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans Tespaoe. Nous menons trois systèmes de plans respectivement parallèles aux plans de coordonnées. Ce réseau de plans découpe l'espace en parallélépipèdes rectangles. A chaque point (Xi,^a>'3/), nous a.ssocions le parallélépipède ayant pour côtés les expressions positives (^r/^ , — xi). {yk+\ — J'h)^ <'^/+i — ^i)- Soient maintenant un volume \ cV f(x,y^ z) une fonction continue de x^y<,z]]e l'orme la somme Iriple

étendues à tous les points (^/îJ'a,^/) situés à Tintérieur du volume. On démontrera, comme dans le cas de deux dimensions ('('Jiap.lV), (jue celte somme a une limite toujours la même, quelle (lue soit la loi suivant laquelle les parallélépipèdes tendent vers Aéro. llien n'est à changer au mode de raisonnement. Nous aurons certains j)arallélépipèdes irréguliers, c'est-à-dire sortant partiellement du volume V, comme nous avions précédemment des rectangles irréguliers. La somme des volumes de ces parallélépipèdes irréguliers tend vers zéro ; pour le voir, on pourrait étendre au cas actuel la première démonstration employée (Chap. IV, §6),

mais la discussion serait minutieuse. La seconde, au contraire, s'élendra d'elle-même; nous supposerons la surface S comprise dans le volume limité par deux surfaces pol\édrales variables, l'une extérieure, l'autre intérieure à S, ces surfaces étant telles que le volume compris puisse toujours être rendu moindre qu'une quantité e donnée à l'avance. Dans ces conditions, les parallélépipèdes irréguliers, à partir d'un certain moment, sont tous compris entre ces deux surfaces polyédrales et, par suite, la somme des volumes de ces parallélépipèdes tend vers zéro. La limite obtenue se représentera par

(1) / / lf{x,y.z)dxdydz,

et on dira que cette intégrale triple est étendue au volume V.

Quand on passe à un nombre n de dimensions, Timage géométrique fait défaut, mais l'extension n'en est pas moins possible. Dans une multiplicité à n dimensions, nous considérons l'ensemble continu des valeurs des n grandeurs X|, x^-, ..., J^w, satisfaisant à une ou plusieurs inégalités de la forme

et nous supposons que les valeurs des x^ satisfaisant à ces inégalités, restent inférieures, en valeur absolue, à un nombre fixe. Telle serait, par exemple, la multiplicité définie par l'unique

inégalité

a?} -h ir| -f- . . . H- arj < R'.

Soit maintenant une succession de valeurs croissantes de jTi, puis de ^2, ... et de x^. Nous formons la somme multiple

AvTi désignant l'accroissement positif de x^ quand on passe de la valeur désignée d'une manière générale par X\ à la suivante, et pareillement pour Ax2? •••> ^-^/ï- Cette somme est étendue aux valeurs considérées de X|,X2, "*^Xn satisfaisant aux inégalités (2). Elle a une limite que l'on représente par

/ / • • • I Xi^it "*^«» • • •> ^») ^^i dx^. . ,dxn '' P. - I. 9

ifinutfm (Jûlini

!*"':;r;ili\s triples.

i.-îjl d'iiit<'f»rales I *'.tril .z' cl )' crni- : '• . nous ccriron?»

'i^mc lie vîili'iir> u* poinl>, i|iii ■:U>, et Sdienl

L>TÉGR.iLES MULTIPLES.

établissenl une correspondance uniforme entre un volume V rapporté aux axes (ût^ y, z) et un volume U rapporté à des axes ( ff, i', iv). Dans ces conditions, le déterminant fonctionnel

Ou

ôv

dw

(Jcp

au

Ov

dw

dw

est différent de zéro pour tous les points du volume U.

Pour elfeclucr le changement de variable, on écrira l'intégrale sous la forme

I dz I JF{Xyy, z)dxdy,

et, laissant :; constant, on remplacera les variables x Qi y par u et V,

Pour cela, nous calculerons le déterminant fonctionnel de x Ql y par rapport à u et r, en considérant w comme une fonction de ces variables satisfaisant à la relation

où z est, pour le moment, une constante. Remplaçant alors Télémenl dx dy par l'élément - .^ du rfv, nous avons Pintégrale

àw

fff

^'{^,y, 5) -^r-dzdudv.

àw

r^aissant ensuite u et i» constant, on remplace dz par -~-d{\\ et nous obtenons l'intégrale

r r rF(a7,7, z)Ddu dv dw.

Nous n'avons pas tenu compte des signes ; le produit dxdydz dans l'intégrale proposée étant positif, si nous considérons auss dudvdw comme positif, il faut remplacer

dx dy dz par ê D du dv dw,

l32 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

£ étant db i, suivant que D est positif ou négatif. Finalement on a

/yYF(a-, j^, z) dx dy dz = fff^i/^ ?» 4^)6 ^ ^" ^^ ^«'^ la seconde intégrale étant étendue au volume U.

4. Arrêtons-nous sur le cas où F = i . L'intégrale (i fjjdxdydz

étendue à V sera, par définition, le volume contenu dans la surface qui limite V. On peut la ramener à Tintégrale double

j j{zt—Zy)dxdy,

en nous bornant au cas où une parallèle à Taxe des z rencontre la surface limite en deux points dont les z sont z^ et Z2{z^ <C ^j).

L'intégrale (3) est indépendante du système d'axes de coordonnées rectangulaires, auquel est rapportée la surface. Si l'on fait en effet un changement d'axes, les nouvelles coordonnées x\ y\ z' sont des fonctions linéaires des anciennes, et le déterminant fonctionnel est égal à dz i ; on a donc, d'après la règle relative au changement de variables,

f f fdx dy dz = f f fdx dy' dz'.

On aura souvent à remplacer les coordonnées rectangulaires par les coordonnées polaires p, 8, i(. Les formules sont

a? = p sinO cos4', ^ = p sinO sinij/, >s = p cos6,

et, par suite,

dx dy dz = p* sin dp û?0 d^,

Soil, par exemple, à calculer le volume V d'une sphère de rayon R ; on aura

\=r r r p^sm^ dp d^d^ = ^r.fiK

INTÉGRALES MULTIPLES. f33