VII. — Racines communes à trois équations
23. Nous ferons encore une application de la théorie des intégrales de surface, en cherchant une intégrale qui soit à rapprocher de rintégrale curviligne étudiée au §1 i (Chap. III'. Prenons, à cet effet, trois fonctions continues Fi(.r,^', 5), F^ir, ^, 5), Fzi^^y^ 5) des variables œ, y^ Zj développables, dans le voisinage de toute valeur x^y yo^ ^0 q^^ nous aurons h considérer, en série ordonnée suivant les puissances croissantes de or — ^oO' — J'o cl z — Zo' Je forme l'intégrale de surface
\^ y f fxdydz-hhdzdx-^Cdxdy.
C) On trouvera d'intéressantes applications géométriques de la formule de Stokes dans un Mémoire de M. Kœnigs {Journal de Jordan^ '889)
où
I Fa
'Fî
* dz
Fî)î t)F,
dFj dx
Fi)»
i Fi
dx
dy
c^jr
dx
dy
(FJ-t-FI
Quelles que soient les fonctions F|, Fo, F3, on aura l'identité
(>.\ dW dC
dx dy
dz
comme le montre un calcul un peu long, mais ne présentant aucune (Jinîcullé.
L'intéj;ralc I ('tendue à une surface fermée ne change donc pas (le valeur quand on déforme la surface S d'intégration sans rencontrer de points où A, H, C cessent d'être continus. Il en résulte (]ue Tintégralo I sera nulle, s'il n'v a pas de racines communes
aux trois équations
à l'intérieur de S.
Ft ( X, »', c ' : O
INTÉGRALES DOt'BLES.
Supposons maintenant qu'il y ait à rinlérieur de S un point P correspondant aune racine commune aux trois équations. Au lieu de calculer I en intégrant le long de S, nous pouvons intégrer le long d'une surface quelconque entourant le point P. Or prenons ce point pour origine et développons Fi, F2, F3 d'après la formule de Taylor,
Fi{x, jTj z) -~- aix '^- bijr ^ ciz -^
^ii^i^j^) =a^x-^bzy-\-c^z-^
On montre, comme dans le cas de deux équations, que l'intégrale ne change pas de valeur, quand on réduit F|, F2, F3 aux termes du premier degré. L'intégrale I devient alors
T dv dz -\- y dz dx -f- z dx dy
x-hbiy-^Ciz)^-^(aiX-hbijr-{-C2Z)'-^{aiT-hbiy-{-c^z)']^
en posant
' ai b\ Ci Oj b\ C2
qui est supposé différent de zéro et représente la valeur du déterminant fonctionnel
f)Ft (^Fi àVi dx ày dz
ÙY^ ôYr ç>Fj ôx ày dz
<)F, dV^ ^Fj I dx dy dz \
au point P.
Pour calculer I, prenons comme surface d'intégration l'ellipsoïde
(«137-1- 61 j^ -H Cl -3)*-+- («2 ir-+- ^2^ -h c,i;)5H-(a3a7-H b^y -^ c^zY = I.
En désignant par a, p, y les angles faits par la normale extérieure à cette surface avec les axes, nous avons
I =— / / (j7cosa -h^cosp-h-s cosy)<^^,
lUO IMÊGRALES SIUPLES ET MULTIPLES.
(iii, «îii appelant /* le rayon vecteur allant du centre de l^ellipsoïde i\ rrh'nicnt fhy et o Tàngle aigu fait par le rayon vecteur avec la normale,
Mais rintégrale double, qui figure dans le second membre, est «^^abî A Iroin fois la somme des pyramides élémentaires de somiiM't P «îl de base </o-, et par conséquent égale à trois fois le vobniHi dt; Tidlipsoïde. Or celui-ci, comme on le reconnaît aisément, nul i^^ul i\
I |) I dt^niffnant la valeur absolue de D. iSous aurons donc
\\\iiï \{i résultai suivaut, l'utièremont semblable à celui que nous uNiMiti tdileiiu dans \c. cas des deux équations :
l'inh^finilr \ est é*:ah* à la différence entre le nombre des mvi$H*H contenues dans S, pour /esfjuelles le déterminant Jonc- Honnel
Ox Oy Oz '
OV. t)F. >)Fi
Oj' Oy Oz
c)F, (>Fn t>F5 '
Ox Oy
Oz
iwtfji^MtiJ, et le nombre des racines pour lesquelles ce déter- Nttmini est nêi;(iti/\
It» iKôon^mo précédent a été donné par M. Kronecker, sous itur Uu'4U0 dinéroule, dans ses éludes sur les systèmes de fonc- Uph-» vb' plusieurs variables [Monatsberichte der Académie der H iWi,H\eha/ten zu /h*rlin. i8(k)' ; il peut éli\? étendu à un nombre »juv Ua^-uvJuo iréquations.
V,>u voit lo r^^le es>onliel joué dans oollo question par le signe
INTÉGRALES DOIBLES. 127
du déterminant fonctionnel. Remarquons aussi que l'intégrale 1 prend ime forme toute différente si, au lieu des trois équations primitives, on forme avec elles une combinaison linéaire. Par suite, l'intégrale qui, au signe près, ne devrait pas changer, ne se présente pas sous une forme invariante. 11 semble donc que le résultat précédent, si intéressant qu'il soit, appelle encore de nouvelles recherches.
