III. — Quelques formules relatives aux int^;rales triples

8. Soient A, B, C trois fonctions de x^y^ z continues, ainsi que leurs dérivées partielles; j'envisage l'intégrale triple, étendue à un volume V limité par la surface S,

nous nous proposons de montrer qu'on peut la remplacer par une intégrale de surface.

Prenons en effet le premier terme

Pour simplifier, supposons la surface seulement rencontrée en deux points par une parallèle à l'axe des x ; soient x^ et x^ {x^ < x^) les abscisses de ces points pour une valeur donnée de y et z : nous les appellerons le point un et le point deux. L'intégrale Iriple sera égale à l'intégrale double

('>) jj^^^^^'^' z) — \{xi,y,z)]dyciz.

cette intégrale double étant étendue au contour apparent de la surface sur le plan desyz. Considérons, d'autre part, l'intégrale de surface

/ /a(j:,^, z)dydz,

prise sur le côté extérieur de la surface S. Celte intégrale de sui^ face n'est autre chose que l'intégrale (5), car pour le point un la normale extérieure à la surface fait un angle obtus avec l'axe des x^ tandis qu'elle fait un angle aigu pour le point deux. Nous aurons de la même manière

les intégrales dans les seconds membres étant encore des intégrales

de surface étendues au côté extérieur de la surface S. De là résulte la formule importante et absolument générale que nous voulions obtenir

= f f{k dydz-^Bdzdx-^Cdx dy).

9. La formule précédente permet de résoudre très simplement le problème suivant déjà traité : Quelle est la condition pour quune intégrale de surface ne dépende que du contour limitant la surface sur laquelle on intègre? Nous avons vu que cette question revient à déterminer la condition pour que Tintégrale

1 I A dy dz -i- ^ dz dx ->(- d dx dy^

prise le long de toute surface fermée, soit nulle. On a, par suite, en se reportant à la formule (6),

cette intégrale étant étendue à un volume quelconque, ce qui

exige

dA ^ ùQ^

dx ùy dz ~' ' Une autre application de la formule (6) s^ob tient en faisant

X = Xy B=yy C = Zy

ce qui donne

/ / j dxdy dz ^ - j j x dy dz -h y dz dx -h z dx dy.

On peut, par conséquent, exprimer le volume limité par une surface fermée sous forme d'intégrale double étendue à cette surface, et ce résultat est à rapprocher de l'expression d'une aire plane à l'aide d'une intégrale curviligne .