La formule (6) va nous conduire à une relation célèbre

l38 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

connue sous le nom de théorème de Green. Envisageons Tintégrale

J J J \àx dx dy dy ôz Oz / -^ '

U et V étant deux fonctions continues dans un volume limité par une surface fermée S. De Pidentilé

oy àW à/ ày\ d^V

i)x ôx ~ dx\ Ox J Ox^^

et des identités analogues obtenues en remplaçant successivement X parj^ et 5, on déduit, en posant AV= j-, + -r-^ t- -r^j

-fff

VWdxdydz.

La formule (6) permet de remplacer la première de ces intégrales par l'intégrale de surface

on introduisant les angles a, p, y faits par la direction de la normale extérieure à la surface avec les axes de coordonnées. Nous aurons donc

I =yj u(^cosa-+- ^cos?-T- ^^co%^yi-JJJ\}iMdxdydz.

La quantité entre crochets dans l'intégrale double peut être écrite sous une forme plus condensée, en introduisant la dérivée dans le sens de la normale. Nous appellerons, d'une manière générale, dérivée d'une fonction V en un point A(j:, y^ z)j dans la direction Kn menée parle point A, la limite du rapport de l'accroissement de la fonction, quand on passe du point A à un point inOniment voisin A' sur la direction A/2, à la distance positive AA'= dn : on désigne cette dérivée par -,- • Soient a, ,3, y les cosinus directeurs de la demi-droite A/? ; on a évidemment

d\^ ô\dx ùV^dy ô\ dz d\^ ^ ^à\ oy^

dn dx dn ôy dn ^^ Oz dn ~^ Ox ^y ^^

En chaque point de la surface S, introduisons la dérivée de V |)ar rapport à la normale extérieure au volume «jue limite S, la valeur de 1 devient

formule intéressante en elle-même, mais surtout en ce qu'elle nous donne de suite, en permutant U et V et retranchant, la relation

Si nous voulons introduire les dérivées dans la direction de la normale intérieure à la surface, il suffira de changer le signe du premier terme, et on aura la formule définitive, dite formule de GreeiXy

Cette formule est générale ; elle a lieu quel que soit le nombre <les surfaces qui limitent le volume. Il importe seulement, dans

son application, de prendre toujours les dérivées -t-> -j— dans le

sens de la normale intérieure au volume que Von étudie. Si, pare&emple, nous considérons l'espace compris entre deux sphères concentriques, l'intégrale double qui figure dans la formule de Green se composera d'une somme de deux intégrales. Pour la sphère extérieure les dérivées devront être prises dans le sens de la normale intérieure à la sphère qui est en même temps la normale intérieure au volume étudié; pour la sphère intérieure, au contraire, les dérivées devront être prises dans le sens de la normale extérieure à cette sphère, qui est le sens de la normale intérieure au volume compris entre les deux sphères.