AX)-V„ (X

\f{x)--Vn^i(x) < e„-Hi, onc

Or la série de terme général (s,/ -f-S/i+i) étant convergente, Tasertion est établie et il en résulte aussi qu'elle est uniformément onvergente.

En définitive, nous pouK^ons représenter f(x) par la série de Polynômes

absolument et uniformément convergente dans lUntervalle

11 est clair que cette représentation pourra être faite d'une infilité de façons.

26. Les considérations que nous venons de développer peuvea s^étendre à des fonctions d'un nombre quelconque de variables Nous nous bornerons au cas de deux variables. En étudiant l'équation AV = o à trois termes, nous avons rencontré une intégrale tout à fait analogue à celle de Poisson, et à laquelle noue pouvons étendre les considérations précédentes. Reprenons don rintégrale (Chap. VI, § 7)

.TC yiTZ

1=-^ f f '^^ j/io', f )8ine'rfe'rff ,

/ / ( I — 2 /' COS Y -r r* ) *

où nous supposons que/(Q', •}') représente une fonction continue^ et que cosy a pour expression

cosy = cosO cosO'-t- sinO sinO' cos(^'— •^).

I est une fonction de r, 8 et ^. Nous allons développer cette fonction suivant les puissances croissantes de r, comme nous Tavons fait pour Tintégrale de Poisson ; mais, auparavant, il nous faut faire quelques remarques sur le développement de l'expression

Cette fonction peut être développée suivant les puissances croissantes de r. Ce développement est convergent pour r<; i ; on a en

effet

I — 2 r COS Y -4- r* = (I — re'ï')(i — rc-Y^).

Chacune des expressions

-=- cl

peut être développée suivant les puissances de r, pour /• •< i . On a ainsi, d'après la formule du binôme,

(, — ,.eYO"* =i-f- i re^r -f- ^^ rSe^'Y-h. . .,

(i — re-YO ^ = 1-}- -re-'Y-h -^r-e-^'r-i-

SÉRIES TRIGONOMÊTRIQUES. 26 1

ît, par suite, en posant

= Po-h Pir-h...-i-P«r«-+-...,

)n aura

3n voit que P«, qui est nécessairement réel, sera un polynôme de legré n en cosy; aussi le désignerons-nous par P„(cosy). D'après a forme précédente, P;,(cosy) atteint sa plus grande valeur pour j' = o ; or, pour cosy = i , on a P„ = i , comme le montre le déveoppement de

Nous avons donc Tinégalité suivante, dont nous aurons à faire usage dans un moment,

I P/i(cosY) iSi.

Ceci posé, du développement valable, pour /*<[ i,

■~ = Po-^ Pi(cosY).r -f-. . .-h Pfl(cosY)./''*-+- .,

v/i — 2rcosY -H /*2 lous déduisons, en dérivant par rapport à r,

! j = P,(cosy) -f-. . .-h /iP„(cosY).r«-*-f-. . .,

(i — ir cos^ -+- r*)*

'l, par suite,

3 =Po-4-3Pi(cosY)./'-+-...-f-(2/n- i)P„(co5Y).r"-i-...,

I — 2/'C0SY -r- r*)^

îl cette série peut être considérée comme une série en 6' et ^' miformément convergente. Par suite, en substituant dans l'intégrale I, il vient

iléveloppemenl dans lequel le coefficient de /*" est une fonclion entière et de degré n en cos6, sinOcos'} et sinOsin^. Désignant par (2/î -+- i)Y/i ce coefficient, nous écrirons

el Ton a, d'après ce que nous venons de dire relativement à

I P„(cosv)|,

en désignant par g une limite supérieure de |/(0', ^') |.

27. Après ces préliminaires, nous avons peu de choses à faire pour démontrer qu'une fonction /(0,<}^), continue sur la sphère de rayon un, peut être représentée, avec l'approximation e, par une suite limitée

où Ton désigne d'une manière générale par Y;„ un polynôme de degré m en cos6, sinOcosi et sinOsin^. On a en effet le développement

tt =»

En se reportant à Tétude que nous avons faite (loc. cit.) de l'intégrale 1, on verra, comme pour le cas d'une fonction d'une seule variable, que l'on peut choisir r, <; i, tel que la série

'^(■in + i)\„r'l

diffère de/(6, i), ([uels que soient H et 'i, de moins de e. D'autre part, la série précédente est uniformément convergente, puisque

Y„ I <^^ et que la série

est convergente. En prenant donc un nombre suffisamment grand m

SÉRIES TRIGOXOMÉTRIQUBS. 203

cl c termes pour que le reste de celle dernière série soit moindre c|ue e, nous aurons la suite finie

nzzni

c|ui différera do /(O, i) de moins de 2£. Le théorème est donc

clémonlré.

Les conséquences sont évidemment les mêmes que plus haut.

Si la fonction /(O, i), au lieu d'être déterminée sur toute la sphère de rayon un, n'est déterminée que sur une partie, on complétera cette détermination sur le reste de la sphère d'une manière arbitraire, en respectant seulement la continuité, et la conclusion relative à la représentation approchée de la fonction subsistera.

De la même manière, en développant cosO, sin6 cos'j' et sindsîn^, suivant les puissances de 6 et »!», nous aurons une représentation approchée (à moins de e) de la fonction à l'aide d'un polynôme en 8 et •}. D'où nous conclurons enfin le théorème suivant :

Toute fonction f[x^ y) des deux variables réelles x ety^ continue dans une aire A, peut être développée en une série

les termes de cette série étant des polynômes en x et y.