VI

tendant vers f{— *), de (|uelque maniire que A se rapproche de lo. De là, nous concluons

n désignant par a la direction limite suivant laquelle A se rap- •roche de Mo. On voit ainsi que liml pourra prendre toutes les aleurs comprises entre

En particulier,

pour a— -, on aura liml --f(-T-t)\

pour a — — -1 •> lim I =/(•>. t: — i).

Quand le point A se rapprochera de Mo en suivant le rayon OMo, a limite correspondante sera la demi-somme

2i. On a essayé de déduire de l'étude de l'intégrale de Poisson me démonstration du développement de Fourier. Si l'on était as-

suré que ce développeinenl est convergent, l'intégrale de Poisso

montrerait bien, en faisant tendre /• vers Tunité, que la valeur

ce développement supposé convergent est égal à/(»). Mais on

peut démontrer a priori la convergence de la série de Fouricr; il

y a plus, en prenant même pour /('f ) une fonction toujours coi

tinue, ce développement peut, pour certaines valeurs de cp, ne pj

converger, car on sait aujourd'hui qu'il existe des (onctions coni

nues, pour lesquelles la série de Fourier n'est pas partout conve-

gente.

Je vais montrer cependant que l'on peut déduire de l'inté^. de Poisson un théorème intéressant relativement à la représenta tion approchée d' une fonction au moyen d'une suite finie Fourier, Reprenons l'identité

1=-- \ fi^\) n r./^

= \- r (ai coso -^ bi sino) -+-...

-i- /'"' ( a,f, cos /?i ç» -r- Z^,;, sin /n ç ) -H . . . , /* < i ♦

en supposant seulement la fonction /(J^) continue et possédant période it.. D'après le raisonnement du § 21 et en employant mêmes notations, on peut, étant donné à l'avance un nombr fixe, mais aussi petit qu'on veut, trouver un angle suffisamm |>etil 0, tel que

' • ^O — coso)

et cela, quel que soit /• et quel que soit y. Or on peut choisi suffisamment voisin de un pour que

/•(i — COSO)

Soit /*! << 1 une valeur de /• satisfaisant à cette inégalité; r^ éL ainsi choisi va rester fixe. Nous avons, quel que soit <p,

I Il-/(?)l <a£,

1, désignant la valeur de I pour /• = r^. Or la série

li=~-t-ri (ai coso -h Oi sin<p) -+-...

-*- /'"'(«//i cos/wç -f- b,„ sinmo)-!-. . . ,

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 25y

dont les termes sont des fonctions de o, est une série uniformément convergente. En effet, | am \ et | 6,„ | étant moindres que 2^, le coefficient de r^'* reste inférieur au nombre fixe /iff. En prenant m assez grand pour que le reste de la série

k partir du rang m, soit moindre que s, le reste de la série qui représente I| sera aussi moindre, en valeur absolue, quee, quel que soii rf, La valeur de m étant ainsi choisie, on aura alors une cerlaine suite Ji nie de f^ourier

F(o) = Ao-4- Al cosQ -h Bi sino -H. . .-+- \,n cosm^ -f- B,« sin^//i telle que

et par suite

On peut donc troui^er une suite finie de I^ourier V{'f) telle que/('f) puisse être représentée parF(rf) pour toute valeur de '^ avec U approximation donnée ù V avance 3e.

2S. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la fonction /(^) était continue de o à 27: et admettait la période air. Soit maintenant /(cp) une fonction déterminée et continue dans un intervalle (a, P) moindre que p.t:; on pourra, sur la portion de la circonférence de rajon un où la fonction y('^) n'est pas déterminée, prendre une fonction continue quelconque se raccordant avec la première en a et ^. A la fonction qui se trouve ainsi déterminée sur toute la circonférence, on peut appliquer les considérations précédentes, et notre fonction /{'f), déterminée entre a et p, se trouve alors représentée par la s^uhc /inie de Fourier

F(o) = Ao-r- Al costp -T- Bi sino -i-. . . -i- A,;, cosmo -h B„i sin/no,

avec une approximation supérieure à une quantité donnée à l'avance, pour toute valeur de 'o entre a et ^.

De ce théorème nous pouvons conclure une proposition intéressante démontrée par M. Weierstrass, qui y est arrivé par des P. — I. 17

considérations entièrement différentes (*). La fonction F(:p) peut

être développée en série ordonnée suivant les puissances croissantes

de cp *

F (' <p ) = ao H- aj «p -i- . . . -4- a„ o" -f- . . . ,

puisque chaque terme de F(ç) est susceptible d'un tel développement. La série précédente est uniformément convergente dans Tinlervalle (a, p); on peut donc prendre n assez grand pour que, en posant

on ait, quel que soit '^, entre a et ^,

I F(o)-P(cp)| < £,

et, par conséquenl, d'après l'inégalité analogue du paragraphe précédent,

Ainsi, £ étant donné à /'avance, on peut représenter la fonction f('^)y continue dans rintervalle (a, p), à l'aide d'un polynôme P('^), a^^ec l'approximation donnée à l'avance ^t.

De ce théorème. M, Weierslrass a déduit une proposition extrêmement remarquable et qui permet de donner une représentation analytique, sous» forme de développement en série, d'une fonction quelconque /(jr) de la variable réelle x continue dans un intervalle (a, P).

Soit, en effet,

une suite de quantités positives décroissantes, formant une série convergente. On peut alors, conformément à ce qui précède, déterminer une suite de polynômes

(') Voir dans le Journal de Afat/iématiques, 1886, un Mémoire de M. Wcicrstrass, traduit par M. Laugel (Sur la possibilité d'une représentation analy^ tique des fonctions dites arbitraires d'une variable réelle), et ma Note Sur la représentation approchée des fonctions {Comptes rendus, t. CXII; 1891).

SÊRIBS TRIGONOMÉ TRIQUES. 'j59

.eU que, pour /« ^^ i, 2, . . . , on ait

pour toute valeur de x entre a et ,3. Or posons

jn aura

Par conséquent

avec La série

dont les termes sont des pol)'nômes en x, sera donc convergente et représentera /(x). Nous ne nous sommes servi jusqu'ici que de ce que iim£/^=o. Démontrons maintenant, sous la condition in-

diquée pour les £, que la série précédente est absolument conver- ^^ente, c'est-à-dire que la série

'SI convergente. On a