Prenons comme exemple la série de terme général

m et n recevant toutes les valeurs entières, sauf w —^ n :=-- o.

Nous pouvons appliquer le théorème de Cauchj : il faut étudier l'intégrale double

(|uand on l'étend à tout le plan, sauf à une région, de forme d'ailleurs quelconque, comprenant Torigine. Kn prenant les coordonnées polaires p et fi, cette intégrale devient

rrdpd^ J J ?*t^-'

Cetle intégrale restera finie, p croissant indéfiniment, si

>;ji — i>i on îi>i.

Ainsi la série double de terme ffénéral , — sera couver-

génie si [j. ^> i .

D'une manière plus générale, soil

ax^ -^ •>. h xy -4- cy^ une forme quadralique définie et positive, c'est-à-dire où 6^ — ac<^o

SÉRIES MtLTIPLES. 267

cîl ^^ ^ o: considérons la série de terme général

— Il "^.- o

iam^- xbtnn-- en- y^ ' ' •

♦=•11 donnant toujours à m et n toutes les valeurs entières possibles,

«auf w = /î = (>.

Ce cas se ramène immédiatement au précédent, car le quotient

positif

ftm*-^ 'ihmn -*- rn^ ni' fi-

<{uels que soient les entiers m et /?, reste toujours compris entre deux limites déterminées différentes de z<'ro. Ainsi, /■ étant un nombre fixe, on a

et, par suite la série proposée aura ses îermes moindres cjue la

série de terme général

et sera donc convergente si jjl est supérieur à Tunité.

4. On peut facilement généraliser le théorème de Caucliv. Si la fonction /(^^y, z) est toujours positive et (pie, pour tout point *'*» J% ^ extérieur à une surface fermée S, cette fonction diminue quand la valeur absolue de j:, dey ou de z va en augmentant, et qu'enfin elle tende vers zéro quand les valeurs absolues de x, y ou z grandissent indéfiniment, la série triple

Zj A"^^ "^ Z'^'

étendue à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de//?, rt Qlpj extérieures à la surface S, convergera ou divergera suivant (pie l'intégrale triple

fjff^ '^' *^^ ' ^ ' ^^ ^^ ''^ '

étendue à tout Tespace, moins le volume limité par S, aura ou non un sens.

En particulier, la série triple de terme général

- — -— - (en laissant de côté m = /?=/> = o)

sera convergente si

comme on le voit en transformant l'intégrale correspondante par l'emploi des coordonnées polaires.

D'une manière plus générale, si ©(^,j', z) désigne une forme quadratique ternaire, toujours positive (sauf pour x =y = z = Oy système pour lequel elle s'annule), la série de terme général

sera convergente si [jl est supérieur à - •

On peutenlin, d'une manière tout à fait générale, considérer une série d'ordre />. La série de terme général

où l'on exclut seulement //«i =:= m^ = .,.-= nip= o, sera convergente si

En effet, d'après le théorème de Caucliv, il faut étudier l'intégrale multi])le

\ *r 1 '■ «X .j " ; " • • • It '*

quand le champ d'intégration grandit indéfiniment dans tous les sens. Or, si l'on pose

Ti= p sinO,,..| sinO/, 2 sinOj cosOj,

Xi= p sin 0/^-1 sinO,,2 sinOj sin 0| ,

x-^= p sin 0^-1 sin O3 cos Oj ,

Xp- pcosO^,,

qui donne une transformation en coordonnées polaires dans l'espace hp dimensions (j^n^r^, . . . , Xp)^ on voit que dxi dxj ... dxp..

après la transformation, aura en facteur oP~^; or

la partie de l'élément relative ù p sera donc ^^ » L'intégrale, pour p infini, restera donc finie si

On en conclura que, dans les mêmes conditions, la forme quadratique /"(^i, X2, . . . , oTp) étant définie et positive, la série multiple de terme général

sera convergente.

o. Le résultat précédent peut être généralisé de la manière suivante, que j'emprunte au Cours d'Analyse de M. Jordan (t. I", p. i63). Soit

F ( J*! , Xj , . . . , Tj, )

un polynôme de degré 2n en Xi, ^2? • • •? -^p] on suppose que l'ensemble des termes homogènes de degré in dans ce polynôme ne puisse s'annuler que pour X| = Xa = . . . = j^y, = o. Remarquons d'abord que, dans ces conditions, l'équation

(3) F(//ii, mt, ..., mp) = Oy

où les m représentent des nombres entiers, n'aura qu'un nombre limité de solutions, car, d'après rhvpothèse faite sur les termes du plus haut degré, les valeurs de a:«, Xa, . . ., Xp satisfaisant à l'équation

doivent rester finies.

Ceci posé, considérons la série multiple

[F(mi, /;i5, ..., nip)\\^'

étendue à toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de mi, ma, . . ., nipj sauf, s'il en existe, aux systèmes de valeurs en

nombre limité satisfaisant à Téquation (3). Le rapport

FC /;?!, /»>, . . . , nip ) ( //if -H /?? î H . . . -h nij, y'

restera manifestement entre deux limites déterminées, quelles qm* soient les valeurs entières de /;/|, /;/2» • • «i '^'/>? sauf

Donc, en désignant par k une constante convenable, les valeurs absolues des termes de la série sont moindres que les terine> de la série suivante

kV-i, ml - m'i - ... -h m* )"\^

Elle sera donc convergente si

et cette règle sera d'une application facile.