II. — Quelques applications

6. Un exemple très général de série multiple nous est fourni par le développement en série trigonométrique d'une fonction de deux variables. Soit/(a:, r) une fonction continue des deux variables X ely et telle que

f{x -^ HT., y) =f{jr, y), f{x, y -h itz) =/{x, y).

On peut développer cette fonction en une série double trigonométrique. Pour éviter toute discussion, nous supposerons que la fonction ait des dérivées partielles des quatre premiers ordres elles-mêmes continues et périodiques. En considérant / comme fonction de x, nous aurons le développement

f{x,y) =-- -\- ^^{a,nCOsmx-\-b„is\ïïmx)\ dans lequel

a,n — - I f{x,y)cosmxdx, ^m = - / f{x^ y)%\nmx dx.

îî: . /**f^

iim et bm sont des fonctions continues de >% admettant la période •àt: : elles pourront être développées en séries trij;onoinétriques, el l'on aura

11 = 1 où

,,ÎTC ^iTZ ^'iTZ

,//!=- / am cos nydy=— j 1 f{x, y) cos mx cosnv djr d y ,

?«,/« = - / a;„ sin nydy=—\ 1 /(x, y ) cos/rix sin ny dx dy .

On développpera de la même manière bm en série trigonométrique avec les coefficients a^,^^ et x*,t,nr

Nous obtenons donc une série double trigonométrique, mais les termes sont groupés d'une manière déterminée. Peut-on les disposer d'une manière quelconque? Pour s'assurer que l'ordre des termes est arbitraire, sous les hypothèses faites, nous n'avons qu'à chercher l'ordre de a,,,^ et ^n^m p^^r rapport à /i et à m. Or, en intégrant successivement par parties, et tenant compte de la périodicité de/et de ses dérivées, on a

^n,m = « , ,1 1 , , , , cos nix C08 fiy dx dy,

et on a une expression analogue pour jS,,,,», a),,,,/, ?/i,w ^-^^ coefficients de

cosmarcos/i^', cosAwa:,sin/i^, sinA/u7coswK, sin/?iJ7 sin/i/,

sont donc de l'ordre de — r— 5 ( pour n z= o, — r-:: est à remplacer

par — -r )• Or la série double de terme i^énéral -^r—z est évidemment *^ m*/ ^ in^n^

convergente; on aura donc^ sous les conditions indiquées, le développement absolument et uniformément convergent

/n=aB /!=:•

-+- 2«.,/i sin mx co*i ny -i- {JJ,^,;, sin /iij: .««in /</).

7. Comme application particulière, je considère la série double

({jt entier positif);

z est une quantité imaginaire quelconque, ainsi que co et (o'; le rapport — n'est pas réel. Les points représentés par les quantités imaginaires

/IIW -t- /iw

forment, dans le plan, les sommets d'un réseau de parallélogrammes qui couvre entièrement le plan; nous supposerons que z ne coïncide avec aucun de ces sommets. Nous allons montrer que la série précédente est convergente si [jl est supérieur à deux. Soient

z = X -f- ify (o = a H- i'^y tu' = Y -+- «o, (ao — ,87 5^ o). La série des modules des termes sera

Or, d'après le théorème du § 5, cette série sera convergente si a]>a» Ce théorème est, en effet, applicable; car, dans le polynôme

F(m, n) = (x -^ ma-+- /iy)'-»- {y -\- fn^ -^ no)',

l'ensemble des termes du second degré

( //i a -I- /i Y )^ -^- ( /n 3 -+- n ô )' ne peut s'annuler que pour m = /i = o.

La fonction /(:;) de la variable complexe -3, définie par la série

wi = -4-«o n =■+ co

précédente.

m=. — «0 /irr — ao

joue, dans la théorie des fonctions elliptiques, un rôle très important; elle ne change pas, en effet, quand on remplace z par 5 -4- co et par ;; -f- w'. Nous aurons l'occasion d'y revenir.

8. Ce sont des séries simples qui donnent le plus facilement des ^3temples de fonctions doublement périodiques, c'est-à-dire restant ijcmvariables quand on remplace la variable x par j: -+- w et par -JC- 4- Cl)'. Soit, par exemple, la série

(>our toute valeur de .r, qui n'est pas de la forme

ic = — rntû -r- {in -\- i)T:i (m et n entiers),

cette série sera convergente; on suppose que la partie réelle de lo

n'est pas nulle.

On peut former des séries de deux variables x et j' possédant quatre couples de périodes, et, (pioiqu'elles présentent beaucoup moins d'intérêt que la précédente, je m'y arrêterai un moment ('). Soient a, P, a', [3' quatre quantités réelles {oLp' — a'^^o); formons la série à double entrée

mrz — «0 n ^ — '

(^I ^ gx^//ïai-/ifj j2 (i | ^y-i-moL ^-np^t

et cherchons si elle est convergente. Posons

u = e', V = ey, a = e«, b — e^, a' = e^', b' = e'^'; la série deviendra

uv

\i\^ a'^b'^ a'fnb'f*^

Je di$ qu'elle est com'ergente pour toute valeur de u et ^, à V exception des valeurs réelles et négatives.

Considérons d'abord la série pour u^=^v ^=.\. Nous avons

c'est une série à termes positifs; montrons qu'elle est convergente.

(') E. Picard, Sur certaines expressions r/ttac/ruplement périodiques {Bulletin de la Société mathématique, 1889.)

P. — I. iS

Je considère le (juotienl

celle expression ne change pas quand on change j* en — j:: on a donc, jC clant posilif,

çX f>-X ^= ^ g-X

Donc, pour x de signe quelconque, nous pouvons écrire

( el par suile

.■■' <»-|ma-^-wp|-|in«'-t-/i8'I

Mais, X et y désignant deux nond)res j^osiliTs, on a

(^oninie, d'autre part, pour a: positif et suffisamment grand,

jjL étant un entier positif qui peut être pris arbitrairement, il en résulte que

et» enlin, nous voyons que le ternie général de notre série est moindre que

La série (()) sera donc une série convergente.

Donnons maintenant à u et i» des valeurs quelconques pourvu <prelles ne soient pas réelles et négatives; en changeant m en — m et n en — /i, nous pouvons écrire le terme général de notre série

SOUS la forme

"Or le module du quotient ^^^y^ représente le rapport des dislances des points i et i/ au point — «'"6", c'est-à-dire à un point situé sur la partie négative de Taxe réel. Ce rapport restera donc

compris entre deux limites finies ; il en sera de même pour t^tâ^*

Par suite, la série (5) sera absolument convergente, sauf pour les valeurs de e^ et e^ réelles et négatives, c'est-à-dire, en posant Xz=x'-\- ix", y=y-^ iy\ quand

af= (2 k -hi)rU, y= {ik'-hi)Tzi (X: et A:' entiers).

L'expression (5) ne change pas quand on remplace

X par X -h iTziy y par y-\-o.Tii,

et, d'une part, simultanément,

X par J7 -»- a et ^ par ^ h- a';

d'autre paf t,

X par ^ -4- p et ^ par y -h f/.

C'est donc une expression quadruplement périodique; la présence des valeurs de x et de r, pour lesquelles l'expression n'a aucun sens, ne nous permet pas de la regarder comme une fonetion de x et j', dont on puisse suivre toujours d'une manière continue la valeur entre deux systèmes {xy, y^) et {x^i y2)'

9. L'expression précédente va nous fournir un exemple de développement en série Irigonométrique; changeons seulement un peu les notations. Je considère la série

2^^ pa(x-+-m<i))-»-p(v+rtri>') ^a'(4r-f-wu))-f-fJ'(v4-/ioï')

[i 4 ga(x-»-/«w)4-p(.v-»-/ia)'Ms [i-\- e*'^*-»-"»w^-*-p'^r-»-wwnî'

(I), o)', a, a', |j et ji' étant toujours réels, et a^' — a'j3 différent de

^Êt^ÊÊmÊ^m—^^

zéro. Il est clair que celte expression ne difFère de celle que nous avons considérée plus haut qu'en ce qu'une substitution linéaire a été elFectuée sur les variables. Le Tableau des périodes est, pour l'expression précédente,

Oi'

Hi

Wi

G, (3', H et H' sont définies par les deux systèmes d'équations

aG -f-pC =27:, otH -f-pH' =o; a'G-h ?'G'= o, a'H -h p'H'= 2?:.

L'expression n'a aucun sens pour les valeurs correspondant (l'une part à

aLaf-\- ?y = (2A:-l-i)r,

d'autre part à

en posant toujours

x = x'-^iaf, y=y'^iy'

La fonction ^(iC,^)est donc déterminée, en particulier, pour toute valeur réelle de x et j', et elle admet les périodes co et w'. Nous pouvons donc la développer en série trigonomélrique; ce sont les coefficients de ce développement que no-us allons chercher.

10. Avant de prendre le cas de deux variables, je traiterai le cas d'une seule variable, c'est-à-dire du développement Ac f(^x) du § 8,

gx-hmui

^H gx-i-//i(o^i

(0 étant réel.

La fonction y(jr) élanl paire, nous aurons (*) Calculons les coefficients Ay, : on aura

<ijue l'on transforme de suite en

. 2 /* c-* y.pr.x . 4 r* «' iPTix , Ap = ~ 1 ; -— cos — dx = — I cos -' dx,

11 nous faut calculer l'intégrale précédente. En posant -^" =: a, ous avons l'intégrale

co^axdx

<|iii, en intégrant par parties, peut s'écrire

allais

1 /•" s'inax , rt / 7 dx :

<lonc

sxnaxdx a a

ç 1-^6* I — rt* 2* -t- a»