I. — Théorie des enveloppes. — Surfaces développables
i . Rappelons d'abord quelques formules relatives aux courbes gauches el aux surfaces. Nous avons vu que le carré de la différenlielle d'un arc de courbe est donné par la formule
ds^ = dx^ -\- dy^ H- dz^.
Sur une courbe gauche, on peut fixer, arbitrairement d'ailleurs, un sens correspondant aux arcs croissants; la tangente menée en un point arbitraire M de la courbe dans le sens des arcs croissants est alors une demi-droite parfaitement déterminée. Nous désignerons toujours dans la suite par a, j3, y les cosinus des angles que fait cette direction avec les axes de coordonnées; dans ces condi-
tions on aura
dx o dy dz
''=ds' ^ = ds' "^=5^-
Relativement aux surfaces, en désignant par/> et q les dérivées p. - I. 19
parlielles -r^ et ^5 Téqualiondu plan tangent en un point (.îc,j^, z) esl
Si, au lieu d'être définie par la valeur de z en fonction de a: et j', la surface est donnée par les trois équations
Il et r étant des paramètres arbitraires, Téquation du plan langent sera
en posant, comme nous l'avons fait précédemment,
D(r^ ^) = ^^ îîf __ ^ tl.
D(«, V) du dv Ov Ou
Si le point considéré est un point simple de la surface, correspondant aux valeurs Uq et Tq de u el (*, on peut toujours supposer la représentation paramétrique telle que les trois déterminants fonctionnels qui figurent dans l'équation précédente ne s'annulent pas simultanément pour // = Wq, i' = t'oî nous ferons toujours cette hypothèse dans la suite.
2. Etant donnée une famille de courbes représentée par l'équation
où figure un paramètre arbitraire a, on sait que l'enveloppe de cette famille de courbes s'obtient en éliminant a entre l'équation précédente et Téquation dérivée
à/ ^ ^ âa
De plus l'enveloppe est tangente à chacune des enveloppées. Pareillement étant donnée la famille de surfaces
l'enveloppe de cette surface, c'est-à-dire le lieu des intersections limites de chaque surface avec la surface infiniment voisine, s*ob-
THÉORIE DES ENVELOPPES. agi
ent en élîminanl a entre celte équation et
La courbe définie par les équations (i) et (2), qui est la limite e rintersection de la surface (i) avec une surface infiniment voi-
ne, s'appelle la caractéristique de la surface. La surface enve- 3ppe est le lieu des caractéristiques; chaque enveloppée est tanente à l'enveloppe en tous les points de la caractéristique orrespondante. Nous nous contentons de rappeler ces proposiioDS tout à fait élémentaires.
3. Au lieu d^une famille de surfaces dépendant d^un seul paranètre arbitraire, considérons maintenant une famille de surfaces
lépendant de deux paramètres a et b.
En donnant à ces paramètres, à partir de deux valeurs déterninées a et 6, des accroissements Aa et A6, nous aurons une surface voisine
Ljui coupera la première suivant une certaine courbe C. Lorsque la et A6 tendront vers zéro, la position limite de la courbe C dépendra de la limite du rapport — • Pour préciser, considérons b
comme fonction de a, soit b := ç(«); la courbe limite sera alors représentée par les équations (3) et
Quelle que soit la fonction arbitraire ©(«), les courbes définies par les équations (3) et (4) auront en commun les points définis, pour chaque système de valeurs de a et 6, par les équations
f{x, y, z, a, ^^) = o, (5) ' da '
Nous supposons, ce qui est le cas général, que, pour des valeur arbitraires de a et 6, ces trois équations déterminent des points isolés (x, y^ z). Les trois équations (5), par Télimination de a et 6, définissent une surface S qui est dite V eriK^eloppe de la famille de surfaces à deux paramètres représentée par l'équation (3).
Prenons un point arbitraire {^x^y^ z) sur la surface S ; pour cette valeur de x,y, z les équations (5) admettront une solution commune en a et 6. La surface (3) correspondant à ces valeurs de a et h et la sur/ace S sont tangentes en (x^y^ z). En effet, les coefficients p et q de l'équation du plan langent à la surface (3) sont donnés par les équations
àf 0/ âf ôf
Pour obtenir les coefficients /? et y de l'équation du plan langent à la surface S, on peut imaginer qu'on ait tiré a et 6 en fonction de x^ y^ z des deux dernières équations (5) et porté ces expressions dans la première ; ce qui donnera
àf '>/■ àf ida Oa\ df /ôb âb\
àf àf ùf Ida ùa\ àf / ùb db\
ij^-^'^rz-'-o:.[-ôy-^'fTz)^Mày'^''rz) = ''^
qui se réduisent aux précédentes puisque -j^ = -^ = o. Le théorème est donc démontré.
Remarquons que Péquation du plan tangent à une surface dépendant, en général, de deux paramètres arbitraires, toute surface peut, au point de vue précédent, être regardée comme l'enveloppe de ses plans tangents.
A, Considérons maintenant une famille de courbes gauches représentées par deux équations
( ^C-^î^, -» rt) = o,
qui renferment un paramètre arbitraire a. Cherchons si ces courbes gauches ont une enveloppe, c'est-à-dire s'il existe une courbe F à
THÉORIE DES ENVELOPPES. SqS
laquelle les courbes C restent tangentes. S^il en est ainsi, on aura s tJF chaque courbe C un point de contact, et les coordonnées de ce |>oint seront des fonctions de a. Désignons par la lettre d les difrt^rentielles relatives à un déplacement sur la courbe C. On aura
df, df . df ,
-f- dx -^ ^ dy -^ -f dz = o,
dx dy '^ ôz
•r^ dx -h r-^ (/y -h -r^ az = o.
dx dy '^ dz
Soit une diflTérenticlle relative à un déplacement sur la courbe F;
1 cius aurons
df^ df^ df^ df ^
dx dy '^ dz Oa
drp ^ do ^ do ^ df^
-7-*- ôx -h -'- oy -^ -r- OZ -h -~- oa = o.
dx dy "^ dz da
'-^rles courbes C et F étant tangentes, il faut que
' * ous en concluons
dx dy dz
ox oy ùz
da ^ da '
Ainsi, les trois fonctions x, y^ z de <7, correspondant au point ^"« contact, doivent vérifier les quatre équations
df do
/(x, y,z,a) = o, o(x,y,z,a) = o, ^ = ®» da ^ ^'
Ces quatre équations de^'ront donc avoir une solution corn- ^y\une en x, y^ 5, quel que soit a. Celte condition nécessaire est l>ien évidemment suffisante.
Dans certains cas, la famille de courbes pourra être donnée par Ic»s équations
X=f{t,lL),
pour une valeur fixe donnée à a, en faisant varier le paramètre /, on aura une courbe de la famille. La courbe enveloppe, si elle e\isle, sera déterminée par l'expression de / en fonction de a. Les
'^Q'i APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
<leux directions
ot ' ôt * de
ri
c^^ f>a dt ôz dt da
devront coïncider. On devra donc avoir
df d9 d^
dt de^ __ dt
~df "~ d© ~" cH|/
dfi d% d%
Ces deux équations devront avoir une solution commune en quel que soit a.
Une classe importante de courbes gauches, ayant une en veloppt est celle des caractéristiques des surfaces dépendant d'un parami dont nous avons parlé au § 2; les quatre équations sont, en eflel dans ce cas,
elles se réduisent à trois,
df df â^f
da-"' da-""' da^"""'
'' da d*(t
Les valeurs de x^ y^ z en fonction de a, qu'on tire de ces troi: équations, définissent la courbe à laquelle restent tangentes les caractéristiques.
5. Un cas particulièrement intéressant est celui où la surface se réduit à un plan. Soit donc le plan mobile
où A, B, C et D dépendent d'un paramètre a. La caractéristique «le ce plan s'obtient en adjoignant à Téquation précédente Pëquatioa
les accents étant relatifs aux dérivées par rapport à a. Cette caractéristique est une droite, et le lieu de ces droites est une surface
THÉORIE DBS ENVELOPPES. 2g5
réglée dont toutes les génératrices resteront tangentes à une courbe g^auche. Celle-ci sera définie par les deux équations précédentes
«l la suivante
A'x + B> -H Cz 4- D' = o.
Ces trois équations définissent ^, y, z en fonction de «, et l'on ^ ainsi la courbe à laquelle toutes les droites considérées restent tangentes.
On appelle sur/ace développable toute surface enveloppe d'un plan mobile qui dépend d'un seul paramètre arbitraire. D'après ce <\u\ précède, une surface développable est le lieu des tangentes à une certaine courbe gauche.
Réciproquement, le lieu des tangentes à toute courbe gauche est une surface développable; nous allons, en effet, prouver que, par chaque tangente à une courbe gauche F, on peut faire passer un plan
dépendant du seul paramètre ^, en fonction duquel sont exprimés x^ y^ z pour la courbe gauche, et tel que sa caractéristique soit précisément la tangente à la courbe F au point (x, y^ z).
La caractéristique de ce plan est donnée par l'équation (6) et la suivante
«/A , -. . ^B . „ . dC ,„ . .dx ^dy ^ dz
dt^ ^ dt^ '^ ' dt^ ' dt dt dt
Ces équations représenteront la tangente si
Kdx -\- h dy -^ Cdz = o, d\ dx -h dB dy -h dC dz = o.
Telles sont les deux équations auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues A, B, C de t. On peut les remplacer par les deux suivantes, entièrement équivalentes,
\dx ~hB dy -h Cdz = o, Ad*x-^Bd^y-}-Cdiz = o,
qui déterminent des quantités proportionnelles à A, B, C, et, par
suite, Téquation du plan (6) est déterminée. Nous retrouverons ce plan plus loin sous le nom de plan osculaleur,
6. Toutes les surfaces développables satisfont à une équation aux dérivées parlielles qui les caractérise. Les coefficients |dc Téqualion du plan tangent à une surface développable ne dépendent, par définition, que d'un seul paramètre. OrPéquationdu plan tangent étant mise sous la forme
Z-z = p(X-x) + qiY-y) (p=^f 1 = ^.)'
on voit que les dérivées partielles p et q^ fonctions des deux variables indépendantes x et y, sont fonctions d'un seul paramètre, et, par conséquent, fonctions Tune de l'autre, soit
Or introduisons les dérivées partielles du second ordre
en difTérentiant l'identité précédente successivement par rapport à
a: et à ^', on a
et, par suite,
rt — s' = o.
Ainsi, pour toute surface développable, quand on considère z comme fonction de x et^^, l'équation précédente aux dérivées partielles est vérifiée.
Nous allons établir la réciproque, c'est-à-dire qu'à toute fonction z de X el y, vérifiant Téquation
rt — s* = o,
correspond une surface développable.
Reprenons l'équation du plan tangent
Z — pX — qY — (5 — px — qy) = o.
Je dis d'abord que les trois coefficients
THÉORIE DES ENYELOPPES. ^97
s^cinl fondions de l'un d'eux. De l'équation rt — s^=. o, qui peut
s> "^écrire
dp dq àp dq
C3n conclut d'abord que /? est fonctiou de^r, soit/>= ^(y). Ensuite, 1 « déterminant fonctionnel de
z^px—qy et q,
2se réduisant à x{rt — s^)^ sera également nul; donc z — px — fjy «st aussi fonction de q^ soit
C7) z—px — qy=zF(q).
Ceci posé, les lignes de la surface, représentées par l'équation
q = consi. ,
sont telles qu'en un point quelconque de chacune d'elles le plan langent est le même. Nous allons voir que ce sont des lignes droites. Prenons, à cet effet, la différentielle totale des deux membres de l'identité (7); nous aurons
— xdp—ydq = ¥\q)dq ou
Celte seconde identité (8) montre, avec l'identité (7), que le lieu des points de la surface où ^ a une valeur constante est une ligne droite ; celle-ci est donnée par les deux équations
et l'on voit, de plus, que la surface est l'enveloppe d'un plan mobile dépendant d'un paramètre arbitraire.
Il est clair que le calcul précédent suppose que rj est une fonction de X et^, qui ne se réduit pas à une constante; s'il en était ainsi, on raisonnerait sur p au lieu de raisonner sur rj. Dans le cas où p etq seraient des constantes, la surface serait évidemment plane.
QqB applications GËOMÉTRIQUES du calcul IlfFIlflTÉSllIAL.
7. La courbe à laquelle restent tangentes les génératrices d'une surface développable s'appelle Varéte de rebroussement de celte surface. La raison de cette dénomination est la suivante : un plan quelconque, rencontrant en un point M l'arête de rebroussement, coupe la surface suivant une courbe qui a en M un point de rebroussement.
Pour l'établir, prenons le point M comme origine, la tangente en M à la courbe comme axe des x^ et le plan sécant conune plan des qy, les axes n'étant pas nécessairement rectangulaires. On aura pour la courbe, en exprimant j^ et .3 en fonction de x, et développant par la formule de Taylor,
y = aar* H- bx^ -h. . ., z = a'x^-+- b'x^-i-. ...
Une tangente quelconque sera donc représentée par les équations
Nous coupons par le plan X = o, on aura donc
Y =y — X (ia X -^ 3 b x^ -h . . .) = — a x^ -+- . . . y Z = 5 — x^ia'x ■+- 36'j?*-f-. . .) = — a'x^-^ ....
Nous avons donc une courbe plane pour laquelle les coordonnées d'un point quelconque sont exprimées à l'aide d'un paramètre X. Les expressions de Y et Z commençant par un terme en x^, à la valeur x = o du paramètre correspondra en général un point de rebroussement de la courbe.
8. Supposons que les génératrices d'une surface développable soient représentées par les deux équations
x= az -^p, y=zbz-\-qy
a, />, 6, q dépendant d'un paramètre a. Ces quatre fonctions ne peuvent être arbitraires; on trouve de suite la relation à laquelle elles doivent satisfaire en écrivant que ces droites ont une enveloppe. Les deux équations
