Le déterminant de la substitution

Ml l\ R, !

est nécessairement égal à d= i . Nous allons, dans la suite, considérer uniquement les substitutions pour lesquelles ce déterminant est égal à -\- 1 ; elles forment un sous-groupe dans le groupe général étudié jusqu'ici.

il sera utile de calculer le déterminant fonctionnel

D(X. Y) d\ ()Y __ <>X ç)Y D{x, y) ~~ Ojt dy Oy Ox

un calcul facile donne

hyx.y) ~ (Ms^-r-l'aj -.- Ra,»''

SÉRIRS MULTIPLES. 285

Ceci posé, nous allons établir que la série multiple

Ma^o-HPaJoH-Hal^

étendue à toutes les substitutions du groupe, est convergente, le point {x^^ y^) étant toujours à Tintérieur du cercle F.

Pour l'établir, supposons d^ abord le point (^oj^o) tel que la substitution unité (c'est-à-dire X = :c, Y = J') soit la seule qui le transforme en lui-même : c'est ce qui arrive évidemment pour un point pris arbitrairement. Traçons autour du point (^o' J^o) une petite aire Sq ; les substitutions du groupe transformeront cette aire en une suite indéfinie 5|, 02, .... Si Taire Sq est assez petite, les aires seront toutes extérieures les unes aux autres et n'auront pas de parties communes ; c'est là une conséquence immédiate de la discontinuité du groupe, et de ce que le point (jTq, j^q) et, par suite tous les points de Oq, ne peuvent être transformés en eux-mêmes que par la substitution unité. La somme des aires est évidemment finie, puisqu'elle est moindre que l'aire du cercle F; or cette somme est

Ç Çd\ d\ ,

étendue à toutes les aires S.

Mais l'intégrale

étendue à une aire transformée de Oq par la substitution (S),

peut s'écrire

dx dy

Pa^H-K»!'

étendue à Oj. La somme des aires 5 peul donc se mettre sous la forme

la somme V étant étendue à toutes les substitutions du groupe et l'intégrale double à Faire Oq. Celle-ci étant arbitraire, il est ma-

nifesle que rinlégrale précédente ne pourra avoir une valeur finie que si la série

|M,X-P3^' T-Usp

est convergence. Si Ton veut préciser davantage, on peut remarquer que, d'après ce qui a été dit plus haut,

A étant une quantité positive, dépendant de a" et ^', mais restant, quand (jr, y) est à l'intérieur d'une aire n'avant pas de point commun avec la circonférence F, comprise entre deux Vimiies /ixes, positives et différentes de zéro. L'intégrale précédente s'écrit alors

2rR3'/.A"'^''''-

Or, comme l'intégrale double est finie et différente de zéro, il faut que

étendue à toutes les substitutions du groupe, soit finie (on ne doit pas oublier que, dans Tévaluation de la somme précédente, plusieurs termes peuvent correspondre à la même valeur de Rs)- ^^ la convergence de la série précédente, il résulte bien que la série

converge pour tout point (jr^ y) à l'intérieur du cercle F, nonseulement pour une position arbitraire de ce j)oint dans F, mais même (|uand il y aura plusieurs substitutions transformant ce point en lui-même.

16. Le résultat précédent permet de former un grand nombre <lc séries multij)lcs absolument con\ergcntes et représentant des fonctions remarquables de :r et >*. Soit ]\(jr^y) une fonction rationnelle de x et y restant continue à Finlérieur du cercle F, sauf tout au plus en un nombre limité de points ; de plus, sur la

SÉUIES MILÏIPLES. 287

circonférence même de ce cercle, on suppose essentiellement qu'elle reste finie. Telle serait, par exemple, la fonction

Telle sesait encore la fonction

a étant une quantité positive supérieure ày 2 (pour que la droite a — .r — j' = o no coupe pas le cercle F).

Formons alors la série

la sommation étant étendue à toutes les substitutions du groupe. La fonction R, par liypotlièse, ne devient discontinue que pour un nombre limité de points^ considi'rons Tensemble K des points qui leur correspondent par les substitutions du groupe.

Supposons que x ne soit pas un point de cet ensemble; la série précédente sera convergente, car la valeur absolue de

restera toujours moindre qu'un nombre fixe; et de ce (jue la série

JLfM

J^ -r-ï*zy - K;

est convergente, on conclut de suite <|ue la série |)roposée est convergente. Si {x, y) coïucidait a\ec un point de Tensemble E, il y aurait un terme ou un nombre limité de ternies (|ui deviendraient infinis dans la série, les autres formeraient une série convergente. La série précédente représente une fonction F(.r,j)') jouissant d'une propriété remarquable. Supposons (ju'on ellectue sur (.r, y) une substitution du groupe

; x, .r -r- 7:1 y -4- pi [XjX -^T.jy ^ ,o.>

'i88 ÉQUATION DE LAPLACE. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

ciiaque terme de la nouvelle série devient é^al à un terme de la première, multiplié par le dénominateur des formules de substitution élevé à la troisième puissance.

On a donc

\|ji3.r-i-7:3y-Hp5 K3.r-h7r3/-T-p3/ ^'' "^ r»/ v ,j^/

Ces fonctions sont les analogues des fonctions d'une variable, appelées thétafuclisiennes par M. Poincaré, et qui jouent un rôle si important dans sa théorie des fonctions fuchsiennes [PoJKCARé, Mémoire sur les fonctions fuchsiennes {Acta maihematica^