II. — Surfaces réglées. — Congruences de droites

9. Nous venons d'étudier les surfaces réglées dont les génératrices ont une enveloppe. Prenons maintenant d'une manière générale une droite mobile

X — az -- p, y = hz -f- q^

dont les coefficients a, 6,/?, q dépendent d'un paramètre arbitraire a. Cette droite engendre une surface réglée. Soit D une génératrice correspondant à la valeur a du paramètre; cherchons r<'quation du plan tangent à la surface en un point M de D, qui sera déterminé par la valeur de z. L'équation du plan tangent est (le la forme

Il sera déterminé par la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface et passant par M. Considérons la section faite par le plan Z = ^. Les cosinus directeurs de sa tangente sont pro-

3o2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

portionnels à a' z +/?', b' z -\- q' eVo] nous aurons donc

a' z-^ p -\- \{b' z -}- q') = o, et Tcquation du plan tangent est par suite

ib'z -4- ^')(X — cfZ— />) — (a'-5 -H/>')(Y — 6Z — ^) = o,

où, bien entendu, les lettres accentuées représentent les dérivées par rapport à a.

En particulier, nous pouvons retrouver de suite la condition pour que le plan tangent soit le même en tous les points de la généra-

irice. Le quotient -r- - , ne devra pas dépendre de z et on retombe bien sur la condition

Revenant au cas général, étudions la variation du plan tangent lorsque M se déplace sur la génératrice D. Pour cela, supposons que D coïncide avec Taxe des ;;, c'est-à-dire que a, é, p^ q soient nuls pour la valeur de a correspondant à la génératrice. L'équation du plan tangent devient

Si 'i désigne Tanglc de ce plan avec le plan zOj' au point M,

on a

a z -f- p Pareillement pour le plan tangent au point M|(o, o, 3|), on a

<l Ati -r~ p

et Fangle de ces deux plans tangents a pour tangente

Au numérateur figure 6'/?' — a! q^ qui est supposé différent de zéro. Le dénominateur sera indépendant de w, si

THÉORIE DBS BNYELOPPBS. 3o3

Soit, sur la génératrice D, I le point correspondant à cette valeur de Zi ; en appelant Tangle que fait le plan tangent en M avec le plan tangent en I, on a

lange = K.ÎSÏ,

K étant une constante, c'est-à-dire ne dépendant pas de la position de M sur D. Cette loi de variation du plan tangent est due à Chasles.

10. Le point I s'appelle le point central sur la génératrice D. Le calcul précédent nous y a conduit tout naturellement. On peut le définir géométriquement de la manière suivante. La génératrice D étant toujours Taxe Oz, la génératrice infiniment voisine

D' sera

X = z da -r- dp,

y = zdb -^ dq.

\sà perpendiculaire commune à D et à D' se projette sur le plan des xy suivant une droite passant par Torigine et perpendiculaire H la projection de D'; elle aura donc pour équation

Y da

X dh

D'antre part, cette dernière équation représente un plan contenant Oc et qui coupe D' en un point dont le z est donné par

l'égalité

da __ z dh -f- dq

db ~ z da -h dp '

ou bien

;; ( rfa* -f- db^ ) -^ da dp '\- db dq — o,

c'est-à-dire

z ( rt'î -h ^>'» ) -+- a>' -: b' q = o.

Cette relation est celle qui définit la coordonnée z^ du point central. Donc ce point est la limite sur D du pied de la perpendiculaire commune à D et à la génératrice infiniment voisine.

H. Comme exemple de surfaces réglées, étudions la surface réglée la plus générale du troisième ordre. Par un point quelconque d'une telle surface ne passe qu'une seule génératrice rec-

3o4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

tiligne, sinon toute génératrice rencontrerait trois génératrices fixes et la surface serait alors une quadrique. Or on peut tracer sur la surface une infinité de coniques, puisque un plan quelconque passant par une génératrice coupe la surface suivant une courbe du deuxième degré ; les points d'une telle conique se déterminent individuellement. Donc, les génératrices de la surface, qui rencontrent cette conique, se déterminent aussi individuellement, c'est-à-dire que la surface est une surface réglée unicursale, ou, en d'autres termes, les équations de la génératrice mobile peuvent se mettre sous la forme

jr = az -^ Pj y z= bz -h qt r/, /?, />, q étant des fonctions rationnelles d'un paramètre.

Toute section plane de la surface est une courbe unie ur sale, car^ si l'on joint aux deux équations précédentes l'équation d'un plan^ ces trois équations détermineront x, j', z en fonction rationnelle d'un paramètre. Cette section est donc une cubique avec un point double. Il y a donc sur la surface une infinité de points doubles, formant une courbe; par celte ligne, qui est une courbe double de la surface, se croisent deux nappes de la surface. Cette courbe double ne peut évidemment être qu'une ligne droite, car, autrement, toute section plane aurait au moins deux points doubles et, par suite, se décomposerait. Ainsi nous arrivons à la conclusion suivante : la surface a une courbe double rectiligne D.

Ceci posé, une génératrice quelconque rencontre la droite D ; en efl'et, s'il n'en était pas ainsi, nous pourrions considérer deux génératrices arbitraires et la droite D. Il y aurait une infinité de droites rencontrant ces trois droites et formant une surface du second degré ; or, chacune des génératrices du second système, dans celte quadrique, rencontrerait notre surface gauche du troisième ordre en quatre points, et, par conséquent, lui appartiendrait ; celle-ci serait donc décomposable. Soient alors quatre génératrices arbitraires qui, nous venons de le voir, rencontrent D. On peut mener deux droites rencontrant ces quatre génératrices; l'une d'elles sera D, désignons par G la seconde. Elle appartiendra à la surface qu'elle rencontre en quatre points. Ainsi, outre la droite singulière D, nous avons une seconde directrice recli-

THÉORIE DES ENVELOPPES. 3o5

ligne G. Ces deux droites ne se rencontrent pas (nous laissons de côté le cas exceptionnel où elles se confondraient). Toutes les g«»nératrices de la surface rencontrent D et G ; nous l'avons établi pour D. On le voit de suite pour G, en remarquant que la génératrice passant en un point arbitraire de la surface est nécessairement la droite passant par ce point et s^appuyant sur D et G. ^îous avons maintenant Tidée la plus nette de la surface; tout plan passant par G coupe la surface suivant deux génératrices qui se rencontrent sur D. Fj'ensemble de ces couples de droites forme la surface, dont deux nappes se coupent visiblement le long de D.

Par une transformation homograpliiquc, on peut s'arranger de manière que la droite G s'en aille à Finfini dans une direction de plan déterminée. La surface ainsi transformée est alors un ro^ noïde. En prenant comme plan des xy un plan auquel restent parallèles toutes les génératrices, et Taxe des z étant la direclrict» du conoïde, Téquation de la surface se réduira à

et, la surface devant être du troisième degré, son (W|nation sera de la forme

Telle est la forme à laquelle on peut réduire Téquation d'une surface réglée du troisième ordre. L'axe des z est ici la droite double de la surface.

12. Sans nous arrêter plus longtemps sur les surfaces réglées, passons aux systèmes de droites dépendant de deux paramètres arbitraires. On considère donc l'ensemble des droites

a, 6, />, /jr dépendant de deux paramètres arbitraires a et fJ. Col ensemble s'appelle une congruence de droites.

Prenant une génératrice quelconque D de la congruence, correspondant aux valeurs a^ et ^o des paramètres, proposons-nous d'abord le problème suivant : Peut-on Jaire passer par D une P. — I. ao

3o6 APPLICATIONS C.ÉOMÉTRIQUES DU CALCUL IXFINITÉSIMAL.

surface développable y dont les génératrices appartiennent à la

congruence? Il faut cliercher, pour cela, si Ton peut établir, entre

a et p, une relation, soit ^ = ç(a), telle que la surface réglée

correspondanle soit développable et que, de plus, ^^^ = 0(0^).

Ecrivons la condition pour que la surface réglée, correspondant

à une relation entre a et ^, soit développable.

On a

da dq — db dp =: o

ou, en développant,