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équation de la forme

où P, Q, Il sont des fonctions connues de a et p. Cette équation du second degré a, en général, deux racines fonctions continues de a et ^3 dans le voisinage d\in système de valeurs oeq et ^q? soit

Considérons Tune de ces équations, la première, par exemple. En faisant quelques hypothèses, d'un caractère très général d'ailleurs, sur la fonction o,(a, P), il sera démontré plus tard qu'il existe une fonction ^ de a satisfaisant à la première équation et prenant pour a=ao la valeur jâ^. A cette fonction correspondra une développable; il en sera de même pour la seconde équation différentielle. Nous pouvons, dès lors, énoncer le théorème suivant :

// existe deux surfaces développables, formées par des droites de la congruence, et passant par une génératrice arbitraire D de cette congruence.

Suivant que l'on considérera la droite D comme appartenant à Tune ou à l'autre de ces développables, on aura un point de con-

THÊOllE DES ENVELOPPES. 307

tact avec Taréte de rebroussement de chacune de ces développables. Ces deux points F| et ¥2 sont dits les forers relatifs à la génératrice D. Pour les trouver, il n'est pas besoin d'avoir obtenu les développables, c'est-à-dire intégré les deux équations différentielles écrites plus haut. Le ;; du point de contact de la génératrice avec son enveloppe sera en effet donné, pour la première développable, par

da àa , da ,q da àa , f.^

Ce dernier rapport ne dépend que de a et ^. En y faisant a = aoy [j = 3o, on aura le z du point F| ; on trouverait de même le z du second fojrer Fj.

Les points F| et Fj décrivent deux surfaces S| et S2. Il est clair qu'en général ces deux surfaces ne seront pas analytîquement distinctes : ce seront deux nappes d'une même surface, qu'on appelle la sur/ace focale de la congruence.

Voici, au sujet de ces deux surfaces, une remarque extrômoment importante : la droite D sera tangente aux surfaces S| et S2. Les arêtes de rebroussements A| et Aa des deux développables sont, en effet, situées sur S| et S^; la droite D, tangente à une courbe de chacune de ces surfaces est donc tangente à ces

Fig. i5.

surfaces. Il est facile d'étudier la disposition des plans tangents aux deux développables. Déplaçons la génératrice D en la laissant tangente à l'arête de rebroussement A| de la première développable {Jig' i5); le point de contact Fa de D avec la surface S^ décrira sur cette surface une courbe 63, distincte nécessairement de Tarête de rebroussement Aj. Donc le plan tangent à la pre-

3o8 AppLiCATi(>>s (■êo.vêtriqi:es nu calcil infimtésimal.

mière dévcloppabic en Fa et, par eonséqiienl, tout le long de D, sera le plan langent en F^ à la surface S2. Ainsi, le plan tangent à h première développable (celle qui correspond à l'indice un) est le plan tangent à la seconde surface S^, et inversement. II peut paraître singulier, au premier iibord, que le plan tangent à la surface S| ne soit pas langent à la premirre développable; toute difficulté disparaît si Ton remarque qu'il n'y a pas à considérer de plan langent à une développable pour les points de son arête de rebroussement qui est une ligne singuli(^re.

13. On peut se placer à un point de vue un peu différent pour définir la surface focale. Reprenant la génératrice D de la congruence, je considère toutes les surfaces réglées appartenant à la congruence et passant par D. Cbercbons si l'on peut trouver sur D un point tel que toutes ces surfaces soient tangentes en ce point. Il faudra, en se reportant à l'équation du plan tangent à une surface réglée, que le rapport

z fia -T- dp zdb -\- dq

soit indépendant de -7^; ce qui nous donne

()a dp âa dp

)b àq ~ ^ôb Oq

C'est une équation du second degré en z qui nous donnera donc deux points A| et A^ sur la génératrice D. Or les deux foyers Ff et Fa obtenus précédemment jouissent bien de la propriété trouvée pour A| et Aj. En effet, si nous considérons une surface réglée quelconque appartenant à la congruence et passant par D, le plan tangent à cette surface en F| sera le plan tangent à la surface Si au même point, puisque la droite reste tangente à S| dans son déplacement. Toutes les surfaces réglées envisagées ont donc en F| le même plan tangent, et il en est de même pour le point F^. Donc les points A| et A2 ne sont autre cliose que les points F| et Fj. On peut, d'ailleurs, faire une vérification analytique immédiate, en remarquant que l'équation (9) se transforme en l'équation (8), si