GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES

double, on peut avoir une aulre représentation où Ui sera le dénominaleur, soit

if = —î [ t/t ^tant de degré — hij, et nécessairement

■ U\ UoUf

est divisible par f. L'expression u] — U0U2 ne peut être nulle, quels que soient x et y (car Ui et Uq auraient un facteur commun, et nous n'aurions pas le degré minimum). On a donc, en tenant compte des degrés,

le facteur constant pouvant être supposé égal à un dans le second membre. Pareillement, il y aura une représentation où le dénominateur sera U2] soit 1/3 (de degré - -h i ) le numéraleur correspondant. L'expression

UiUf — UqUz

est divisible par cp et l'on a

u%Ui — UoUi= a.ff (a étant du premier degré en x tt jy), Eq éliminant cp entre les identités

on a

Mi(mi— aui) = Mo(wj — auf).

Donc

Us — aut= buo,

b élant un polynôme du second degré en x tly.

Cette équation nous donne un résultat très remarquable. Puisque

Uo Uq

on aura

z* — az — 6 = 0.

La courbe considérée est donc sur une surface du second degré. Ainsi une courbe, pour laquelle le minimum n de v atteint la

valeur 1, est située nécessairement sur une surface du second

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578 CHAPITRE XTIII.

degré. Elle est rintersection complète des deux surfaces z^ — az — 0 = 0. z = — ,

doDl l'une est du second degré, l'autre de degré 1 .

La réciproque est éifidenle* Sî l'on a une surface de degré

aeux et une surface de degré ^ i {d étant pair bien entendu),

on aura une courbe que l'on pourra mettre sous la forme de Cayley, avec la monoïde de degré ^ 1

y^ étant de degré i, et ^ de degré -•

Nous n'examinerons pas le cas oà d est impair, qui est plus compliqué.

11. Une étude plus complète de la représentation des courbes gauches algébriques m'entraînerait trop loin, et j'énoncerai seulement en terminant quelques résultats dont on trouvera la démonstration dans les Mémoires cités plus haut. Un des plus beaux théorèmes de Halphen est relatif au minimum du nombre h des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré d sans points multiples. Ce nombre est le plus grand entier contenu dans

Ce minimum peut être effectivement atteint, eV alors la courbe est sur une surface du second degré. Les courbes de degré d ayant le nombre minimum de points doubles apparents s'obtiennent de la manière suivante. Si t/=2A, il suffira de considérer l'intersection complète d'une surface du second degré avec une surface de degré ).. Si rf = 2X-I-1, on considère une quadrique et une surface de degré X -j- i passant par une droite de la quadrique. Il y a, en dehors de la droite, une courbe d'intersection de degré 2X -h 1, qui est la courbe cherchée.

M. Castelnuovo a généralisé le résultat d'Halphen, relatif au

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