GÉNÉRALITÉS SLR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES
A et B étant encore des poljnomes en x et y. Nous allons montrer que  et B sont divisibles par R(^), et la proposition énoncée sera établie.
Parmi les points de rencontre de ^ et y^ se trouvent les points doubles de cp et des points simples. Soit d'abord (a, 6) un de ces derniers points; supposons que (.r, y^ se déplace sur la courbe y; il résulte de l'identité (3), puisque le quotient
reste fini en (a. h), que le quotient
restera fini aussi en (a, 6). Ceci aura lieu pour les d points de rencontre (qu'on peut supposer distincts) de la droite x=^a avec la courbe <p. Il en résulte (') que Ton peut mettre A(a:,j>^) sons la forme
(4) A(ar, j') = (a? — a)Al^- çBi (Ai et B} polynômes).
En substituant dans l'identité (3), il en résulte que {x — a) est nécessairement eu facteur dans les deux membres, et nous avons une identité analogue, mais où R(^) ne contient plus le facteur X — a. £n allant ainsi de proche en proche, on fera disparaître tous les facteurs x — a correspondant aux points de rencontre de o et de y, qui sont points simples de ^.
Supposons maintenant que (a, b) soit un point double de cp. Reprenons (:r, y) sur la courbe q; l'identité (3) nous montre que
, , , Âr^vr )
s'annule quand (x,y) tend . vers (a, b) sur l'une ou l'autre branche de la courbe; ceci résulte de ce que yj s'annule en (a, b) et que
( ' ) Nous avons rencontré ce genre de question dans le problème de la Réduclion des intégrales abéliennes (t. I, p. 66 et suiv., a* édition ).
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reste finie en (a, 6). D'ailleurs, pour les {d — a) autres points simples de rencontre de la droite x = a avec 'f, le quotient (5) reste fini; il résulte encore de tout cela (voir le passage cité en note) que \{x^y) est susceptible de la forme (4)^ les mêmes conclusions suivent comme plus haut. On pourra finalement faire disparaître R(^) et Tidentité (3) aura la forme
^-^^ = K/ 4- Lo (K et L polynômes en x^ y). Donc, quand on a ©(a:,^)= o, on a
i - ii
X " Xt
et, par suite, on a une représentation avec le dénominateur y,, comme nous l'avons énoncé.
7. Nous avons démontré plus haut (n** 4, où le degré de la courbe était désigné par [x) qu'une courbe plane de degré d avec h points doubles, pour laquelle
est la perspective d'une courbe gauche de degré d sans point singulier. Nous pouvons retrouver ce résultat, en nous servant de la représentation de Cayley. On peut prendre pour dénominateur y,
dans l'équation de la monoïde, le polynôme -^-y puisqu'il s'annule pour les points doubles de o.
La courbe -î = o a avec <p, en dehors des points doubles, d{d — \) — ih
points communs. Par les points doubles, et ces derniers points, le tout étant en nombre
nous pouvons faire passer une courbe de degré rf, et celte courbe sera distincte de o et ne se composera pas de -^ et d'une droite. En effet, le nombre des constantes dans cette courbe est
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GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. Ojb
et ce nombre est supérieur à trois, car Tinégalité
revient à
inégalité qui est vérifiée. Désignons donc par ^ la courbe générale de degré d passant par les d{d — i) — h points indiqués, nous avons les deux équations
ôx
qui représentent une courbe gauche, dont p est la perspective; c'est ce que nous voulions montrer.
8. Il est facile d'avoir le nombre des constantes figurant dans la famille précédente de courbes gauches. Dans o le nombre des constantes est
— h (courbe de degré d avec h points doubles).
Dans if nous avons
La somme de ces deux nombres est égale à ^d\ c'est le résultat trouvé au n® 1.
9. Faisons encore, avec Halphen, quelques remarques sur la représentation des courbes gauches avec les monoïdes. J'écrirai les équations sous la forme
o est toujours de degré d avec h points doubles. Le poljnome u^ est d'un certain degré v^-i, et le polynôme Uq de degré v. La courbe Uo=o passe simplement par les points doubles de o = o,
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et la courbe Ui = o passe en chaque point commun aux courbes Uq et o. Dans ces conditions, on a évidemment
Les points communs à Uq et o (en dehors des points doubles) sont
au nombre de
yd — uA.
11 y a donc sur o
vûf — ih-^- h ou vt/ — h
points communs à a, et à {/q. Donc
vrf — Aâv(v-i-i).
Ainsi, on a les deux inégalités On aura donc
Il y a, nous l'avons dit, une infinité de représentations d'une courbe gauche donnée avec des monoïdes. Le minimum du nombre v joue un rôle important dans la classification d^Halphen ; désignons-le parn. Par les h points doubles, on ne doit pas pouvoir faire passer une courbe de degré n — i . Donc
c'est-à-dire
10. On a trouvé, au numéro précédent, que n est au moins égal
\\ I . Soit dpair, et examinons si cette limite peut être atteinte
ofiectivement. Supposons qu'il en soit ainsi, et désignons par
la représentation correspondante. Puisque Ux s'annule au point
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