F. - II
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Il ne pourra y avoir plus d'une Intégrale de cette équation prenant sur un contour quelconque une succession donnée de valeurs.
2o. Nous avons, dans les paragraphes précédents, déduit nos conclusions de ce que les intégrales étaient nécessairement des fonctions analytiques. Dans sa Thèse (*), M. Paraf a montré qu'on pouvait arriver bien simplement aux mêmes conclusions, sans s*appuyer sur aucun résultat antérieur, ce qui dispense même de l'hypothèse que les coefficients soient des fonctions analytiques. Partons de l'équation
d^u d^ii du , du
ôx* oy^ àx oy
On suppose que, dans une aire A limitée par un contour C, le coefficient c soit constamment négatif (et non nul). Nous voulons montrer qu'il ne pourra y avoir deux intégrales de l'équation, bien déterminées et continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, prenant sur C les mêmes valeurs. Considérons, en effet, la différence a de deux telles intégrales, qui s'annule sur C. Nous allons voir qu'elle ne peut prendre aucune valeur positive dans A. Si, en effet, elle devient positive, elle aurait une limite supérieure qu'elle atteindrait au moias pour un point (^o»yo) de l'intérieur de Taire. Donnons alors à j^ la valeur fixe yo e^ considérons la fonction w(j:,jKo)« H est clair que \-T-) est nul; d'autre part la formule de Taylor, arrêtée au second terme,
{x — x^Y\d^u(^x,yii)'\
montre que ("j-7) doit être négatif ou nul, car, dans le cas contraire, le second terme du second membre serait positif pour x voisin de a:o> ce qui conduirait à «(^, jKo) >• «^(^o^^o)- Ainsi donc, pour
x — x^, y=yo,
(*) A. Paraf, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, l. VI, 1892.
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on aura
du
du
et
et pareillement tandis que
Ces égaillés el inégalités sont incompatibles avec Téquation différenlielle. 11 est donc établi qu'aucune intégrale ne peut avoir dans A un maximum positif^ elle ne peut non plus avoir un minimum négatif, comme on le voit en changeant u en — u. Il en résulte que, si la fonction u est nulle sur le contour, elle sera nulle à V intérieur,
26. La démonstration précédente suppose que c ne s'annule pas dans la région considérée. Le théorème est cependant exact sous la seule condition que c ne soit pas' négatif. Nous allons ramener, en effet, ce cas au précédent. Faisons le changement de fonction
u = ZVy
z étant une fonction, pour le moment indéterminée, de x el y. L'équation en (> a la même forme que l'équation en u^ et le coefficient de ç est
en posant
„, ^ d^z d^z dz j dz
^ ' dx^ dy^ dx dy
Si donc, dans la région considérée, on peut trouver une fonction 5 de a: et ^ vérifiant les deux inégalités
-3 > o, F(z)<o (les égalités étant exclues),
on se trouvera, pour l'équation en i^, dans le cas précédent, et le théorème sera établi.
Nous allons pouvoir déterminer une fonction z Ae x seul remplissant les conditions voulues. On devra avoir
d'^z dz
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Comme c est négatif ou nul, il suffit de satisfaire aux deux
inégalités
d^z dz ^
Soit -;- = U, nous voulons avoir
ce qui revient à
^ h rt U < o,
ox
^ -+-MU-h(a--M)U<o, ox
M étant une constante supérieure à la valeur absolue maxima de a
dans l'aire donnée.
Or si Ton prend
cette inégalité sera certainement vérifiée; on en lire
En supposant que l'ordonnée x =^ x^ soit à gauche de l'aire, toutes les conditions demandées sont vérifiées, et le théorème est par suite établi.
IV. — Problème de Dirichlet. Recherche de la fonction harmonique prenant des valeurs données sur un contour. Méthode de M. Neumann.
27. Nous avons maintenant à chercher si, étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour, il exisle une fonction harmonique continue à l'intérieur de l'aire limitée par le contour et prenant sur celui-ci les valeurs données.
Dans sa célèbre dissertation inaugurale, Riemann a donné de ce problème, qu*il appelle Xq principe de Dirichletj une démonstration extrêmement simple. Quoique cette démonstration ne présente pas une rigueur suffisante, nous devons l'exposer; elle rend en effet tout au moins très vraisemblable le théorème en question et elle est le type d'un genre de raisonnement fréquem-
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 87
ment employé en Physique mathématique, et dont, faute de mieux, on doit souvent se contenter.
