Revenons maintenant à l'équation générale

, . d^u , â^u d^u .du du

^ ' âx' àxdy dy^ dx ày ''

en supposant toujours que lé point (^, J^) reste dans la région R dn plan où b^ — ac est négatif, et les hypothèses sur les coefficients a, 6, c, rf, e^ f restant les mêmes. Soit A un point quelconque de cette région R. Il existe certainement une intégrale z de cette équation ne s'annulant pas au point A et gardant par conséquent un signe invariable dans un certain domaine D autour de ce point.

Faisons dans l'équation le changement de fonction

L'équation en q sera du même type que l'équation (8), elle n'aura pas de terme en v. Elle sera de la forme

ox^ dx oy oy^ dx oy

Puisque z ne s'annule pas, par hypothèse, dans D, nous pouvons appliquer les résultats du paragraphe précédent. Il ne pourra y avoir deux, intégrales de cette équation prenant la même succession de valeurs sur un contour C contenu dans D. ,

Nous pouvons par suite énoncer pour l'équation (a) le théorème suivant :

Autour d^un point quelconque de la région R, on peut délimiter un domaine D, dans lequel le problème de la détermination d'une intégrale par ses valeurs sur un contour quelconque contenu dans D ne pourra as^oir plus d^une solution.

C*est le théorème que nous avons obtenu aux § 19 et 21. On voit que nous n'avons pas eu besoin ici, dans les raisonnements employés, de faire intervenir les valeurs des dérivées partielles du

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3a CHAPITBB I.

premier ordre sur le contour. Le résultat est en ce sens plus précis^ mais nous avons par contre Tinconvénient de démonlrer seulement Texistence de ce domaine suffisamment petit D, sans indiquer aucune possibilité de trouver eflectivement un tel domaine, ce que notre première méthode (§ 19) nous avait au contraire permis de faire. 11 resterait à rechercher si, pour les domaines trouvés dans la première méthode, on ne pourrait arriver à se débarrasser de Phypothèse supplémentaire relative aux dérivées du premier ordre. Cette discussion trouvera sa place dans une autre partie de cet Ouvrage.

24. Terminons ces généralités en considérant encore l'équation

d*M , â^u d^u .du du .

ox^ àx oy &y* dx dy

et supposant que, dans la région R où

6* — ac < o, a > o, on ait de plusy<; o.

Nous allons montrer que dans ces nouvelles conditions il ne pourra y avoir plus d^une intégrale de V équation prenant sur tout contour fermé contenu dans R une succession continue donnée de valeurs.

Si deux intégrales prennent les mêmes valeurs le long d'un contour, on aura une intégrale qui s'annulera le long de ce contour. Considérons donc une telle intégrale u de l'équation précédente; elle gardera un signe invariable dans le contour; ou bien elle s'annulera le long de certaines lignes; dans le second cas, l'aire se trouvera partagée en plusieurs aires partielles, sur le périmètre desquelles l'intégrale s'annulera, en gardant à l'intérieur un signe invariable.

Prenons Tune d'elles, et supposons u positif à l'intérieur. Pour un point au moins (^ojJKo) à l'intérieur, u devra passer par un maximum; soit «o > o la valeur de u pour (d?oj J^o)-

Développons u en série

u = Mo-+-«/i(a: — a?o, ^— ^o)-H..., /i, qui est plus grand que un, doit être nécessairement égal à

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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 3v^

deux; car, dans le cas contraire, l'ensemble des termes constants dans Téquation se réduirait à /oUoy en désignant par /o 1^ valeur de / pour (^oj J^o)î o" devrait donc avoir i/^= o, ce qui est impossible si la fonction n'est pas restée constamment nulle à l'intérieur de l'aire. Nous avons donc /i = 2; soit

Puisque (^o^^o) correspond à un maximum, a<o, Y<o, p«— aY<o.

D'autre part, en substituant dans l'équation diflerentielle la valeur de a, on trouve de suite

(9) 2(aoa-H-26oP-i-CoY)-f-/oao = o,

en désignant par ao, bot Cq les valeurs de a, 6, c pour (xoî^'o)- On a d'ailleurs

ao > o, Co > o, bl— aoCo <,o. Or de l'inégalité évidente

(ao«-^CoY)»> 4«oCoaT,

nous concluons successivement, en nous reportant aux inégalités

écrites plus liant,

(aoa-i-CoY)*> 4aoCo?*,

La valeur absolue de aoa + c^y est donc supérieure à celle de 260?- Or OoOi-h Cq'^ est négatif; donc

aox-i- ibo^ ■+- CoY

est certainement négatif. D'ailleurs /oW» est aussi négatif, puisque Wo > o, /o< o. Nous sommes ainsi conduits à une contradiction, car la relation (9) devient, dans ces conditions, manifestement impossible. L'hjpo thèse faite est donc inadmissible : une intégrale nulle sur le contour sera nécessairement nulle à l'intérieur, ce qui démontre le théorème.

Comme exemple, citons l'équation