On établira enfin une dernière propriété de Tintégrale
prise pour un point s de la courbe G. Il n'y a, je le répète, qu'à
changer tz en ^ dans tous les raisonnements et calculs ( 1. 1, p. 171 ).
En désignant par M et m le maximum et le minimum de [jl sur la courbe, on a, pour deux points quelconques s elSt d<; G,
où le nombre p (qui est égal à i — A) est une constante positive comprise entre zéro et un.
En particulier, si M| et m, désignent le maximum et le minimum de V^ sur G, on a
Ml— m,l(M — //î)p.
34. Il suffira maintenant d'indiquer l'énoncé de la solution du principe de Diriclilet; on se reportera pour la démonstration au Tome I, p. 172.
Soit une fonction continue U définie sur la courbe G*, en désignant toujours par U.» la valeur d'une fonction U au point 5, je forme l'intégrale
Quand le point (a, b) est en 5, elle a une valeur parfaitement déterminée U j . L'ensemble de ces valeurs, quand le point s se déplace sur la courbe G, définit une fonction U* sur cette courbe. Formons de même l'intégrale
qui permettra de définir une nouvelle fonction U*'^ sur G; et ainsi de suite, en ajant d'une manière générale
iT. 1,, r
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La série
U-h-Ui-t-U*-
est convergente sur la courbe C, et ^intégrale
îir ^^ r
résout le problème de Dirichlet, c'est-à-dire qu'elle satisfait à l'équation de Laplace, et que V (a, 6) tend vers U,, quand le point (a, b) intérieur à C tend vers le point s de cette courbe.
3o. Dans ce qui précède, nous avons supposé que la succession des valeurs données sur le contour était une fonction continue. Il est intéressant, pour diverses applications, d'examiner le cas où la fonction U, donnée sur le contour, tout en étant en générai continue, aurait un certain nombre de points de disconiinuité où elle passerait brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie. Supposons, par exemple, qu'il y ait sur le contour deux tels points A et B (Jig' 2), et soient, quand on parcourt le contour
dans le sens positif, a et 6 les valeurs correspondantes des discontinuités, de telle sorte que, si Ua+e désigne la valeur de Um quand le point variable M tend vers A en marchant dans le sens de la flèche, et si XJx^e, désigne la valeur limite de U^ quand M tend vers A dans le sens inverse, on ait
et, de même.
Ua-£ — Ua+s = a Ub— 2 — UB-f-5 = b.
Pour résoudre, dans ce cas, le problème de Dirichlel, on pourrait suivre la méthode précédente en commençant par discuter
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FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 4?
l'intégrale généralisée de Gauss, quand la fonction a éprouve des discontinuités de la nature indiquée. M. Schwarz a montré que le cas où la fonction U est discontinue peut se ramener immédiatement au cas où la succession des valeurs données sur le contour est continue (•). Concevons, en effet, la fonction tJ prenant sur le contour la succession, discontinue en A et B, de valeurs données; si l'on désigne par (a, a') et ([î, P') les coordonnées de A et B, la fonction
- arc tang 1 — arc tan<; ^
est parfaitement déterminée dans l'aire limitée par C, quand on a une fois choisi, en un point, la détermination que l'on veut adopter pour les arc tang; de plus cette fonction est une fonction harmonique. Enfin, quand le point (^,y) tend vers A en suivant le contour, d'abord dans le sens positif, puis ensuite dans le sens négatif, la différence des deux valeurs limites est manifestement égale à a, si, comme nous le supposons, A n'est pas une pointe. La différence analogue pour B est égale à b. Or formons maintenant l'expression
ir ïT « Y — ^'b y — B'
V = U arc tang 1 — arc tang ^ ^ •
i: ^ X — fx 71 ^ X — ^
La différence des deux valeurs limites que prend cette fonction quand (^, y), sur le contour C, se rapproche de A d'un côté ou de l'autre, sera égale à zéro, et il en sera de même pour B. Admettons que cette expression qui, à proprement parler, n'a pas de valeur en A, ait pour valeur la limite précédente relative à ce point, et de même pour B; nous pourrons dire alors que la fonction V prend une suite continue de valeurs sur le contour C et nous pourrons l'obtenir comme il a été vu plus haut. On en déduira la valeur de U par la formule
u = V H — arc tang-:^^ ^ arc tang ^ •
(*) M. Jules Riemaim a tiré très heureusement parti de la même idée dans le cas des aires limitées par plusieurs contours. Voir sa Thèse sur le problème de Dirichlet {Annales de l'École Normale, x888).
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36. Les considérations précédentes nous permettent de déterminer une fonction harmonique U qui, en dehors des points A et B, prend sur le contour une succession continue de valeurs données. U n'est pas certain, d'après ce qui a été vu jusqu'ici, que cette fonction soit unique. Le résultat est cependant exact si l'on ajoute l'hypothèse que la fonction reste, en valeur absolue, inférieure à un nombre fixe dans le voisinage des points de discontinuité.
Il faut, pour établir ce théorème, montrer qu'une fonction harmonique U prenant sur C la valeur zéro, sauf en certains points A et B dans le voisinage desquels on suppose qu*elle reste finie, est nécessairement nulle identiquement.
Nous démontrerons ce résultat en suppo^ant que le contour C se réduise à un cercle. Ce ne sera pas restreindre la généralité du théorème si l'on admet, comme il sera démontré plus tard, qu'on peut faire la représentation conforme de l'aire considérée sur un cercle (Chapitre X).
Nous considérons donc une circonférence C du rajon R et de centre O et deux points A et B sur celte courbe. Nous donnant d'abord un nombre r, fixe, mais aussi petit (ju'on voudra, nous traçons deux angles a et ^ d'ouverture 2 7^ et de sommet O, ayant respectivement OA et OB pour bissectrices. On peut, d'autre part, trouver un cercle R| (R| < R) tel que, sur la portion de cette circonférence extérieure aux angles a et ^, les valeurs absolues de U soient moindres que e, en désignant par e une seconde quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra. Sur les arcs de la circonférence R, correspondant aux angles a et ^, on aura, d'après
riiypothèse faite,
M étant une constante fixe.
Nous pouvons déterminer la fonction haimonicpte U en nous
servant de la formule de Poisson relativement à la circonférence R, .
On voit alors que, pour un point quelconque P, intérieur à cette
circonférence, on a
|Up|</.£4- \xr^,
A et u étant deux quantités finies indépendantes de £ et r, : c'est ce
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FONCTIONS d'l'NE VARIABLE COMPLEXE. 49
qui résulte de suite de la déconiposilion de Tintégrale en deux parties. Or e et t^ sont deux constanles aussi petites que l'on veut. Il est donc bien établi que la fonction harmonique U est rigoureusement nulle.
Il est facile de donner un exemple d'une fonction harmonique s'annuiant en tous les points d'une circonférence, sauf un seul, continue d'ailleurs à l'intérieur et n'étant pas identiquement nulle. II suffit de prendre
a étant une constante. Celte fonction s'annule sur la circonférence représentée par l'équalion
sauf à l'origine ; son module ne restant pas au-dessous d'une limite iixe M, le théorème précédent n'est pas applicable.
37. Il est intéressant de rechercher quelle est la limite des valeurs que prend U(x, y) quand le point {x^y) tend vers un point A du contour où la succession des valeurs données est disconlinue. On y parvient de suite, en se reportant à la formule
U = V H- ^ - arc tang
V a, en chaque point de discontinuité, une valeur déterminée. Supposons, en premier lieu, que le point {jo^y) se rapproche du point A, en restant sur le contour C et en marchant d'abord dans Je sens positif et ensuite dans le sens négatif. En écrivant U sous la forme
LI = VVH arc tang -
Tc ^ X — a
W étant comme V parfaitement déterminée en A, on aura successivement les valeurs limites
(?) WA-f-|(6-it),
h désignant l'angle que fait avec Ox la tangente à la courbe en A P. — II. 4
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5o CHAPITRE 1. — FONCTIONS D^UNE VARIABLE COMPLEXE.
menée dans le sens négatif. On aura donc, quand le point {x^y) tend vers Â, en étant à l^intérieur de la courbe,
0' correspondant à la direction limite suivant laquelle {jo^y) tend
vers A, et l'on a
Texpression (y) est comprise entre (a) et (p).
En faisant varier 0' on obtiendra toutes les valeurs comprises entre les deux valeurs extrêmes (a) et (j3). Ce résultat est bien d'accord avec ce que nous avions trouvé dans le cas particulier du cercle (t. I, p. 272).
Supposons, en particulier, que la succession des valeurs données soit zéro sur une partie de la courbe et un sur Tau ire. Soit toujours A un des points de discontinuité. 11 résulte de ce qui précède que si {x^y) tend vers A en restant sur une courbe qui ne soit pas tangente à la courbe C en A, la limite des valeurs que prend U(:r, y) est un nombre \ plus petit que P unité. Nous aurons plus lard à faire usage de ce cas particulier.
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DÉVELOPPEMENTS KN SÉRIES. 5l
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ET PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES FONCTIONS HARMONIQUES ET DES FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE.
I. — Développements en séries et extension des fonctions harmoniques.
1. Nous avons déjà indiqué (Chap. I, § 14) un développement en série d'une fonction harmonique, il nous faut reprendre avec plus de détail l'étude des développements de celte forme. En parlant de Tintégrale
^ iTzJ^ R«—-2Rrcos(i^ — ©)-+-/•» ^'
où ret cp désignent les coordonnées polaires du point A dont x et y désigneront les coordonnées rectangulaires, nous avons obtenu le développement
V(a7,7)= ^ "+" 2 (r) ^^fn^os^m^ -^ b,n^\ïim-:>),
ou
Ce développement converge pour tous les points intérieurs nu cercle de rayon R. On a vu aussi que le terme de rang m dans la série était un polynôme homogène et de degré m en :f et^.
2. Ceci rappelé, proposons-nous une question inverse en consi-
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déranl a priori une série de la forme
Fn = 00
(i) Ao-f- ^ r'"(A,„ cosmtp -h B„| sinwo),
OT = l
les A el B désignant des conslantes. J'envisage les deux séries ^A,„r'« et ^B,,,/'".
Ce sont deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de r. Elles ont donc chacune un certain champ de convergence (l. 1, p. 22o); prenons le plus petit de ces deux champs de convergence, soit rintervalle ( — L, 4-L). La série (i) sera uniformément convergente quand le point {x^ y)^ (.r = /coscp, jK = rsincp) sera à l'intérieur du cercle de rayon L — e, e étant une quantité fixe aussi petite qu'on voudra; les deux séries
2|A,«|/"« et 2]l^^'"i'*'"
sont, en effet, convergentes pour /-< L.
Nous appellerons cercle de convergence At la série (i) le cercle de rayon L (*). Cherchons quelques propriétés de la fonction de /* et de (p, ou de x ety, ainsi définie dans ce cercle. Soit
r"» cosmo = u,„(x^ y)j /-"* sin/no = ^/«(ir, y) :
Um et Vn^j nous l'avons déjà dit, sont des polynômes homogènes et de degré m en ^ et y, et Ton a
Nous avons donc la fonction V(^-,^) définie, dans le cercle de rayon L, par le développement
(') Il n'est pas impossible que la série converge en dehors de ce cercle, mais nous ne nous occupons de la série qu'a rintérieur de ce que nous appelons le cercle de convergence.
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Montrons d'abord que la fonction V(a7, y) aura des dérivées partielles de tout ordre et qu'on pourra les obtenir en faisant la somme des dérivées correspondantes des termes de la série. Il suffira de démontrer le même théorème pour la série (i) considérée comme fonction de /• et de cp: soit donc
IK/-, ç) = Âo-f- 7^ r"*(A,;tCosmç -+- Bfnsinmtf). ' m = l
Nous allons supposer r^lJ, L'étant une quantité plus petite que L mais qui en est aussi voisine qu'on voudra. Les deux séries
2lA,„|L''« et ^\B,„\L'^n sont convergentes ainsi que les séries
On aura d'abord évidemment, d'après les propriétés des séries entières,
= \ mr'«-* ( A,;i cos m ^ H- B,« si n m ç).
Prenons maintenant la série des dérivées par rapport à cp
\ m/-'" ( — A,„ sin m(p -4- B,n cos m o ).
Cette série sera convergente, et de plus, si on la considère comme fonction de cp, elle sera uniformément convergente, cp variant de o à 27Î. Donc, d'après un théorème fondamental (t. I,
p. 21 3), elle représentera — • Le théorème démontré pour les
dérivées du premier ordre, qui sont des séries de même forme que la proposée, s'étend aux dérivées de tout ordre.
Ainsi la série (i), considérée comme fonction de ret de cp, a des dérivées partielles du premier ordre qui s'obtiennent en formant la série des dérivées des termes successifs. Par suite, on aura le même théorème pour la fonction V considérée comme fonction
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54 CHAPITRK II.
de X et J^ Remarquons de plus que V a des dérivées partielles de tout ordre qui se trouvent représentées par des séries de mémo forme. Ainsi
dx
donc
ou
W/;i-H«V;„=(ar-+-/»«S
du,n .àVfn ,
Par conséquent
dx ='^""»-»' "dF ='"''"'-*•
Nous avons donc une série de même forme. Prenons maintenant les dérivées secondes
et puisque
on aura
dx'^
^u,„ = o, Ap,„ = o.
Ainsi ta /onction V(x, y) représentée par /a série, est, comme chacun de ses termes, une fonction harmonique et continue à V intérieur du cercle de rayon L.
Cette proposition est, en quelque sorte, Tinverse de celle que nous rappelions au Paragraphe précédent. Il est clair que, si dans les expressions précédentes nous remplaçons x par x — x^ et y par y — y^j nous aurons des fonctions définies dans des cercles ajant pour centre (^oj .^'o)«
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3. Reprenons une fonction harmonique V(:r, y), continue à l'inlërieur d'un cercle C de rayon R ayant l'origine pour centre. On suppose qu'on ne sache rien de la nature de la fonction sur la circonférence elle-même. Pour effectuer le développement en série <le la fonction, on doit prendre une circonférence de rayon R', moindre que R, et le développement déjà rappelé au § 1 de ce Chapitre, nous donne à l'intérieur du cercle de rayon R'
(•2) V(a?, j^) r= Ao-+- \] r^'CA/rtCosmo -4-B/„sin/n«p).
On peut se demander si ce développement est indépendant de R'. 11 est aisé de voir que A„, et B;„ ne dépendent pas de R'; soit, en effet, pourR'<R' un autre développement de V(a7, y); en faisant la différence de ces deux séries, on aurait une identité de la forme
o = «o-t- ^ /""'(«/« cosmtp -4- p,« sinmo) (r < R').
La série ordonnée suivant les puissances croissantes de r, qui figure dans le second membre, ne peut être identiquement nulle
que si
OLfn cosmç -4- p„t sin/no = o»
quel que soit çp, c'est-à-dire que a;,i= [3,»=: o, et les coefficients des deux développements supposés sont identiques. La série (a) définit donc la fonction pour tous les points intérieurs au cercle C de rayon R.
Ceci posé, prenons à l'intérieur de ce cercle un point arbitraire (Xo, y 9) autre que Torigine. Du point (^o^.Xo) comme centre, décrivons le cercle (y) tangent intérieurement au cercle C; la fonction V(a?, ^) à l'intérieur de ce cercle pourra être développée en une série de la forme
les P et Q étant des constantes.
Une remarque capitale est à faire sur celle dernière série. Son
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cercle de convergence a un rayon au moins égal à celui du cercle (y), mais il ne lui est pas nécessairement égal. Siiil F {/ig'. 3) ce cercle de convergence; supposons son rayon plus grand que
celui de (y). On voit que la fonction V(jr, y) se trouve maintenant définie dans une région où elle n'était pas déterminée par le premier développement en série, à savoir la partie ombrée dans la figure intérieure à F et extérieure à C. Ce fait est extrêmement important; on dit alors que Von a effectué le prolongement analytique de la fonction V au delà de Varc a^ de la. circonférence G (a et p désignant les points de rencontre des circonférences C et F).
On pourrait, de la même manière, chercher à eil'ectuer le prolongement analytique de la fonction au delà d^un arc de la circonférence F, et ainsi de suite, de proche en proche.
Les circonstances les plus variées peuvent se produire dans la recherche de ce prolongement analytique. On pourrait tout d'abord être arrêté dès le début, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver que, quel que soit (^o> ^o)> '^ cercle F fût le cercle v; alors le prolongement analytique de la fonction au delà du cercle i\ est impossible. Dans d'autres cas, en prenant pour les circonférences F une succession de centres situés sur un arc de courbe joignant le point O à un point A du plan, on pourra atteindre le point A; il pourra arriver aussi qu'on n'atteigne pas ce point. Enfin, en allant du point O à ce même point A par deux chemins dillérents, on pourra ne pas trouver la même valeur à l'arrivée : la fonction prolongée présentera alors quelque singularité dans l'aire limitée par les deux chemins.
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DÉVELOPPEMENTS KN SÉRIES. 67
t. Il est facile de citer des exemples d'une fonction ne pouvant être prolongée au delà d'un cercle C. Reprenons, en effet, Tinléf^rale de Poisson
qui définil une fonction harmonique V(jr, j^) prenant sur le cercle C de ravon R, a^ant l'origine pour centre, la succession des valeurs données par la fonction /*(•];). Si la fonction peut être prolongée au delà d'un certain arc a^ de la circonférence C, il faudra nécessairement qwe/(ij;) soit une fonction analytique de ^ sur cet arc; en effet, V(j', j^) sera alors une fonction analytique de x et r dans une certaine aire comprenant l'arc a^ à son intérieur, et comme -r et r, qui sont égaux à R cosA et R sin»]^ sur le cercle, Sont des fonctions analytiques de A, il en résulte que V(ar, y) sera une fonction analytique de 'o sur l'arc a^. Or nous pouvons prendre pour /*('}) une fonction continue qui ne soit pas une l'onction analytique de •} : telles seraient, par exemple, les fonctîonsy(^) et »(/) continues de ^= o à /== i, que nous avons considérées au Tome 1, page 'a'x. On prendrait pour la fonction actuelle y('i) la fonction
continue a lois de •!/ = o à «i = air. Elle n'admet pas la période 2 7r, mais la fonction harmonique V(^, y) n'en est pas moins bien définie dans le cercle C, et ne peut être prolongée au delà de la circonférence.
o. Nous allons faire deux remarques générales sur les fonctions harmoniques, qui nous seront plus tard utiles et où nous aurons à invoquer la notion de prolongement analytique qui vient d'être ëliidîée dans les Paragraphes précédents.
La première remarque est relative à une fonction harmonique, bien déterminée et continue dans une aire A, et que l'on suppose constante dans une aire B, intérieure à A, et d'ailleurs aussi petite qu'on vent. La fonction sera constante dans A; en effet, pour faire le prolongement analytique de l'expression en dehors de B,
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58 CHAPITBK 11.
on aura à employer des séries de la forme de celles considérées au §2,
Ao -f- ^ r"« ( A,„ cos mo -hBf„s\nmo).
Tous Jes coefficients, sauf le premier, doivent être nuls, puisque pour r assez petit, correspondant à des points dans B, la fonction se réduit à une constante. En étendant donc ainsi la fonction de proche en proche, on voit qu'elle sera constante dans toute l'étendue de A.
La seconde remarque est relative aux valeurs d'une fonction harmonique U à l'intérieur d'un contour C sur lequel elle prend une succession de valeurs, lin supposant d'abord cette succession continue, soient M et m le maximum et le minimum de la fonction sur le contour. Je dis que, pour tout point à l'intérieur, on
aura
a;i < U < M (on suppose M ^ m),
chaque inégalité excluant l'égalité. La fonction ne peut évidemment prendre de valeurs supérieures à M ou inférieures à /?i, car autrement elle aurait, à l'inférieur, un maximum ou un minimum. De plus, il est impossible qu'en un point a de Tinlérieur on ait
car, si Ton décrit, autour de a comme centre, un cercle F de rayon arbitraire p, on aurait (Chap. I, § 10)
inégalité impossible, puisque, sur F, U ne peut être constamment égal à M.
Si l'on suppose que les valeurs de U sur le contour soient discontinues, comme au Chapitre I (§ 3o), désignons toujours par M et m le maximum et le minimum de ces valeurs (pour les points limites, on considérera la valeur comme double, en prenant les deux limites). Les inégalités
m < U < M subsistent, pour tout point intérieur. En eflel, quand {x^y) tend
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DÉVELOPPEMliNTS EN SÉRIES. 69
vers un poiut de dîscontinuilc, la valeur limite de U est comprise entre M el in (Chap. I, § 37); il n'j a donc rien à changer an raisonnement précédent.
6- Nous terminerons ces généralités en démontrant un théorème dû à M. Harnack (*). Considérons d'abord, dans un lemme préliminaire, la suite
ao, Wi, ttî, ..., Un, ...
de fonctions harmoniques à l'intérieur d'un contour G. On suppose que, sur le contour, la série
(3) Uo-hU,-t-...4-U«-h...
des valeurs de ces fonctions soit uniformément convergente. Je dis que la série
Mo -H 1/1 -t- . - . -h W« -H . . .
sera uniformément convergente à [^intérieur de Caire et représentera une fonction harmonique.
D'après la définition donnée (t. 1, p. 2 1 1 ) de la convergence uniforme, on pourra prendre n assez grand, s étant donné à l'avance, pour que, en tout point du contour, on ait, quel que soit/?,
|U«H- U«^,-h...-hU,n.p| <e.
Or, d'après les propriétés des fonctions harmoniques,
à rîntérîeur de l'aire, est inférieure au maximum de
|U«-4-U„^,-h...-+-U,,-H/i| sur le contour; il en résulte immédiatement que la série
Wo -*" Ml -»-.•.-+- M/i H- .. .
est uniformément convergente à l'intérieur de l'aire.
Montrons maintenant que cette série représente une fonction
( « ) Voir l'Ouvrage déjà cité de M. Harnack : Die Grundlagen der Théorie des iogariihmischen Potentiales, p. 67 ; 1887.
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harmonique. Nous considérons, à cet effet, une circonférence C à l'intérieur de Taire; soient
Vo, V,, ..., V„, ...
les valeurs des u sur cette circonférence. La série
(4) Vo-+-Vi-+-...-i-V„-f-...
sera évidemment uniformément convergente sur (L Prenant alors pour le cercle rinlégrale de Poisson
et appelant p^ le reste de la série (4) correspondant au rang /i, nous pourrons, pour les points de l'intérieur du cercle, écrire cette intégrale sous la forme
Or|p,i|-<e pour tous les points du contour; par conséquent, la série
wo -•- "i -^- .••-+-"/*-*-•• .
est représentée par l'intégrale (5) à l'intérieur du cercle; elle représente donc une fonction harmonique. D'ailleurs, d'après ce qui précède, il est bien évident que cette série tend vers la série des U quand {oc^ y) se rapproche d'un point du contour.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant : Soit une série
de fonctions harmoniques toutes positives à V intérieur de Caire limitée par un contour C. Si cette série converge en un point O de ^intérieur de Caire, elle convergera en tous les points de C intérieur de Caire et représentera une fonction harmonique.
Soit V une fonction harmonique positive définie le long d'un cercle r de centre O et de ravon R ; on a
Vo - -^ / V d^.
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DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. 6l
Pour lin point A de l'intérieur du cercle, on a
