AM
en désîg;nanl par /-la dislance OA, et AM représentant la distance de A au point variable M correspondant à Tangle i sur la circonférence. Il est clair que
Donc, puisque les V sont positifs,
Ceci dît, décrivons, du point Ode l'énoncé précédent, un cercle qui soit intérieur à Taire, la série
«oH- wi-»-. . .-h M«-h. . .
convergera pour loul point intérieur à ce cercle. On a, en effet, quels que soient les entiers n et m,
les M® et les u^ désignant, d'une manière générale, les valeurs de u en O et en A. La série convergente pour le point O convergera donc pour le point A. Il est évident qu'elle convergera uniformément sur toute circonférence intérieure à la circonférence primitivement tracée; d'après le lemme, elle représente, à l'intérieur de celle-là, une l'onction harntoni(jue. En allant de proche en proche, on peut atteindre, en considérant une suite de circonférences, tout point de l'intérieur de Taire, et le théorème se trouve, par suite, établi. On remarquera que la série sera uniformément convergente à l'intérieur de toute aire comprise dans l'aire que limite O et n'ayant aucun point commun avec cette courbe.
II. — Fonctions harmoniques à llnâiii. Problème de Dirichlet pour l'extérieur d'une aire.
7. Nous avons toujours considéré, jusqu'ici, des fonctions harmoniques pour des valeurs finies de x ety. On étudiera les fonctions harmoniques dans le cas où le point (x, y") s'éloignera indéfiniment, en s'appuyant sur la propriété suivante de la transformation par rayons vecteurs réciproques. On sait que cette transformation, quand Torigine .est le centre de la transformation, s'exprime analyliquement par les formules
X = —r ri Y = -- — =^ ik étant une constante),
ou les formules équivalentes
X»H-Y«' -^ XÎ-+-Y* Ceci posé, si^i^x^y) désigne une fonction harmonique,
\x^-^y^ x^-^-y^J sera encore une fonction harmonique.
Ce théorème, que vérifierait immédiatement un calcul direct, peut encore s'établir en se rappelant (t. 1, p. 456) que, si la transformation
conserve les angles, Téquation
dx^ "^ ày^ "" ^ devient, après le changement de variables,
Jxt^Jy^=^-
Du théorème précédent, ou conclut que l'étude de la fonction harmonique V(a', y)^ pour de grandes valeurs de x et dej^, re-
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vient à Tëtude de la fonciion harmonique de X et Y,
\^X*-h Y» X*H-YV' dans le voisinage de X = o, Y = o.
8. Nous pouvons définir mainlenanl ce qu'on doit entendre par fonction harmonique régu/ière à Vinjini, Soit une fonciion harmonique V(j:,y), uniforme et continue à Textérieur d'un cercle F avant Torigine pour centre, pour toute valeur finie de x et y. En faisant la transformation précédente, nous avons à considérer la fonction
(7) ^^^'^'^^ = ^(xrrY-«'xr:rTO*
W(X, Y) est une fonction harmonique, bien déterminée et continue, pour tous les points (X, Y) de l'intérieur du cercle F' transformé de F par rajons vecteurs réciproques, sauf peut-être pour l'origine X = o, Y = o. Si ce dernier point est aussi un point ordinaire pour la fonction W(X, Y), on dira que la fonction V(^, y^ est régulière à V infini.
Indiquons une forme remarquable pour le développement de V'(ar, y) à l'extérieur de F. Nous avons vu qu'à l'intérieur de F' on a, pour W(X, Y),
tv,„(X, Y) désignant un polynôme harmonique homogène et de degré m en X et Y. On a, par suite,
m = to m= 0
^'m{^^ y) désignant un polynôme harmonique, homogène et de degré m en x ely.
Cette forme de développement à l'extérieur d'un cercle est d'ailleurs caractéristique pour une fonction régulière à l'infini, car on remonte immédiatement du développement (9) au développement (8).
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9. Posons-nous maintenant le problème de Dirichlet pour la partie du plan extérieur à un contour donné C. L'énoncé sera alors le suivant :
Trouver une fonction harmonique, continue et uniforme dans l'espace extérieur à C, régulière à Vinfiniy et prenant sur G une succession donnée de valeurs,
(^e problème se ramène immédiatement au cas du problème relatif à l'intérieur d'une aire. Transformons, en effet, la figure par ravons vecteurs réciproques, en prenant pour centre de transformation un point intérieur à C. Le contour C se transformera en un contour C, et la fonction que nous cherchons V(x,j') deviendra une fonction W(X, Y), uniforme et continue pour tous les points intérieurs à G' et prenant sur G' la succession donnée de valeurs. Le problème extérieur est donc ramené au problème intérieur, et l'on voit bien que c'est l'hypothèse faite, que la fonction V(j:,j^)est régulière à l'infini, qui nous permet d'affirmer que la fonction W(X, Y) n'a pas le point X = o, Y == o comme point singulier.
10. Dans le cas de l'espace, nous n'avons pas parlé au Tome I du problème extérieur. Il y a, à cet égard, une grande différence entre le cas du plan et celui de l'espace, et l'on se tromperait gravement en posant le problème de la même manière dans les deux, cas.
Gonsidérons encore la transformation par rayons vecteurs réciproques
A = — : \ j 1 = — : '- 7 > iii =
On peut vérifier avec Sir William Thomson (*), que, si la fonction V(^, y^ z) est harmonique, la fonction
^""^ ^-^i^yt^^i \x^^y^-^z^' x^'^y^--^z^-' x^^y^^z^j
sera encore une fonction harmonique. G'est ce que vérifie sans difficulté un calcul direct.
(') Journal de Liouville, l. \ll (extraits de Lettres adressées à M. Liouviile).
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DÉTBLOPPEMENTS EN SÉRIES. 65
Il en résulte qu'une fonction V(x, j^, 5) harmonique et continue dans le voisinage de l'origine conduit, au moyen de l'expression (10), à une fonction harmonique bien déterminée, quand le point (x, y^ z) est suffisamment éloigné de l'origine, et qui s'annule à l'infini.
Cette remarque montre immédiatement comment le problème extérieur doit être posé dans le cas de l'espace. Ce problème consiste à trouver une fonction harmonique continue à l'extérieur d'une surface, prenant sur cette surface des valeurs données et s'annulent à l'infini.
m. — Développement en série des fonctions analytiques d'une variable complexe. Théorème de Cauchy. Fonctions élémentaires.
11. Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable
jouent dans la théorie des fonctions analytiques un rôle essentiel. Nous avons déjà fait leur étude (t. I, p. 219) quand le coefificient a et la variable z sont réels. Il y a simplement à remplacer le mot valeur absolue par module pour avoir le théorème suivant entièrement analogue à celui qui a été démontré (t. I, p. 219).
S^i, pour une valeur s© de 5, on a, quel que soit n,
M étant un nombre fixe, la série sera convergente pour toute valeur de z de module inférieur à | x;©!-
En particulier, si la série converge pour une valeur ^0» elle convergera pour toutes les valeurs de z de module moindre. Il en résulte que la courbe séparant les parties du plan où la série converge de celles où la série diverge ne peut être qu'une circonférence ayant son centre à l'origine. Ce cercle est ce qu'on appelle le cercle de convergence de la série.
12. Et d'abord il est essentiel de montrer que la série précé- P. — II. 5
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dente est bien une fonclion analytique de la variable complexe z. En efiel, elle rentre dans les séries que nous venons d'étudier. Pour le voir, posons
a,i= aa-^ iàn, 5" = /-'(cos/iO -h i sin/i6), la série (i i) devient
>^r'»(artCos/iO — 6„sin/i0)-+- t ^r«(6«cos/iO -+- a» sin/i6).
Soit ( — L, + L) le domaine de convergence commun aux deux séries
(1-2) 2 ««'•'* et ^bnr'^.
Le cercle de convergence de la série (11) sera le cercle de rayon L. En effet, pour une valeur de r supérieure à L, Tune au moins des deux sériées (12) est divergente. Or, pour 9 = o, la série (11) se réduit à
Le rayon de son cercle de convergence ne peut donc dépasser L. Ceci posé, les propriétés de la fonction définie par la série (i i) à l'intérieur du cercle de rayon L résultent immédiatement des propriétés établies au § 2. Cette fonction peut s'écrire
^(anUn— bn Vu ) "H « ^ ^« "" "^ ^" *"« )*
C'est une fonction analytique de 5, car
puisque
àu„ ___ ôv^ àUn __ dVn
ôx à y dy ~~ àx
Il résulte encore, des règles de dérivation établies (§ 2), que la série (1 1) a une dérivée qui sera représentée par la série
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES. 6j
d'où Ton conclut encore Texislence des dérivées de tout ordre à rinlérîeur du cercle de convergence.
13. Nous venons de voir qu'une série telle que(i i) représente, à l'intérieur de son cercle de convergence, une fonction analytique uniforme et continue. Nous allons maintenant établir la réciproque, qui constitue un théorème fondamental dû à Cauchy et qui s'énonce de la manière suivante :
Si une fonction analytique /(z) est uni/orme et continue à teinté rieur d'un cercle ayant V origine pour centre, on peut, à r intérieur de ce cercle, la représenter par une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable z.
Soit
f{z) = a-h tV.
D'après le théorème établi pour les fonctions harmoniques, on a
Or, ridenlilé
du ^ àif dx ~~ dy
est ici satisfaite; elle nous donne
ou encore
ce qui exige que
Si donc nous formons/(-s), il vient
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puisque
Ufti -H iv,n = '•"* ( cos m <p -h i sin m cp ) = z'«.
Le développement (i3) constitue le théorème de Cauchy. Si, au lieu d'avoir l'origine pour centre, le cercle avait son centre en a, la série procéderait suivant les puissances croissantes de z — a. On aurait ainsi le développement
convergent à l'intérieur d'un certain cercle ayant pour centre a. C'est la formule de Taylor, car, en différentiant m fois d'après la règle du § 12, et faisant :; = a, on a
Faisons, à propos de ce développement, une remarque qui nous sera utile dans la buite. Soient (C) {fig- 4) '^ cercle de con-
vergence de la fonction /(^), z Ql z -\- h deux, points à l'intérieur de ce cercle. Considérons la différence
dans laquelle nous supposons z fixe et II variable. Ce sera encore une fonction analytique de h qui sera certainement développable en une série convergente si le point z -\- h est à l'intérieur du cercle (y), ayant pour centre le point z et tangent intérieurement au cercle de convergence (C). On aura donc, pour tout point z -\- h intérieur au cercle (y).
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Cette série est toujours convergente dans le cercle y, et nous verrons que, dans bien des cas, elle peut converger au delà.
14. Donnons quelques applications des généralités qui précèdent, et proposons-nous tout d'abord le problème suivant :
Trouver une série ordonnée suivant les puissances croissantes de z
satisfaisant à la condition
La série considérée est convergente à Tinlérieur d'un certain cercle (R), dans lequel nous supposons situés le point z et le point t] nous prenons, en outre, le point t tel que
c'est-à-dire de manière que f{^-\' t) soit certainement développable suivant les puissances de t.
On devra avoir alors l'identité
(«0 -H a, ^ +. . .-^ a,;,r'«-h . . .)/(-) d'où l'on conclut les égalités
«0=1, OL,nAz)= ; ' ^f^'"Kz) (/'*=1,2, ...),
et, en changeant m en m — i , et dérivant,
On en déduit la relation récurrente
et, par suite,
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La série jouissant de la propriété demandée sera donc, si elle existe, de la forme
On vérifie immédiatement qu'elle est convergente dans tout le plan, c'est-à-dire que son rajon de convergence est infini, et elle est bien telle que
15. La série précédente, dans le cas où a et 5 sont réels, représente e**. Faisons, en particulier, a=:i, nous obtenons la série
que nous prenons comme définition de e^ quand z est une quantité complexe, et il y a bien accord avec les résultats connus. On a, quels que soient z et /,
La fonction e^ est uniforme et continue dans tout le plan; sa dérivée est la fonction e^ elle-même.
16. De même qu'on définit e* par une série, pareillement, lorsque z sera imaginaire, cos>3etsin2 seront définis par les séries
