COS5 == I
sin5 =
ss
Le rayon de convergence de ces séries est infini. La dérivée de sinz est COS5, et la dérivée de cos5 est — sin^.
Les trois transcendantes e^, cosz, sin^ ne forment pas trois transcendantes distinctes. C'est un résultat bien connu dû à Euler, et que je ne ferai que rappeler. En remplaçant z par zi dans e^, on obtient immédiatement les relations suivantes
e^^ = cos^ -+- i si 115, c-s'= cos-5 — i sin^,
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d'où Ton conclut
ezi^ e-zi
cos-5 = ,
ezi—e-zi
Il est facile ensuite de vérifier les formules fondamentales
cos(2 -h t)=. cos-3 cos^ — sinz sin^,
sin {z-\-t)-= sin z co%t -+- sin t cos>5,
I = cos*zH-sin*-5.
17. Une conséquence des formules d'Euler sur laquelle j'insisterai un peu plus est relative à la périodicité de/(>3).
D'une manière générale, on dit qu'une fonction uniforme d'une variable complexe z est périodique s'il existe une constante a telle qu'on ail
et cela quelle que soit la valeur attribuée à la variable z, La fonction e^ admet la période ^Tzi\ on a, en effet,
L*addition d'une demi-période Ta change e* en — e^
Terminons en rappelant que, si a et 6 sont réels, on a
^a-^/t -- ea(cos6 -h /sin 6),
et que, par suite, le module de e**"*"'* est e^^ et que son argument est 6 à un multiple près de 2?:.
18. La notion de Textension analytique d'une fonction représentée par une série entière
/(5) = ao-H a, a-f-...-Ha««"-f-...
repose sur la même idée que pour les fonctions harmoniques (§ 3). Soit ( /ig- 3) (C) le cercle de convergence de la série précédente. Si l'on considère le point (^o^jKo)) on pourra, dans le voi-
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sinage de ce point, développer la fonclioD suivant les puissances de (z — a), (a = Xo-h iyo)-, et nous avons vu que ce développement était certainement possible, du moment que le point z élait
à Tintérieur du cercle (y) décrit du point (a) comme centre, tangent intérieurement au cercle de convergence (C). Mais il se peut que le cercle de convergence (T) de la nouvelle série
soit plus grand que (y) et sorte du cercle (C). On aura réalisé alors l'extension analytique de la fonction le long de l'arc aj3. C'est ce qui arrive d'ailleurs pour la plupart des fonctions. Considérons, par exemple, la série
Elle est convergenle pour |;;|<.i et divergente pour |5|>i; donc son cercle de convergence est le cercle de rayon un décrit de l'origine comme centre. A l'intérieur de ce cercle, la série
représente la fonction
Effectuons le développement de celte fonction, autour d'un point a intérieur au cercle C, par la formule de Tajlor ; on obtient
\ — z ■{ — al I — a \\ — a / \ v — a / \
La série entre crochets est convergente pour
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c'est-à-dire lorsque z sera à l'intérieur d'un cercle (F) décrit du point a comme centre avec un rayon a B égal à 1 1 — « |. Le point z pourra donc sorlir du cercle (C) {Jig' (3), et, en continuant de
proche en proche, on effectuera successivement le prolongement analytique de la fonction sur tout le plan.
Voici maintenant un exemple simple d'une fonction analytique ne pouvant être étendue au delà de la circonférence de convergence. 11 est dû à M. Weierstrass.
Considérons la série
h désignant un nombre positif et c un entier positif.
Cette série est convergente à Tintérieur du cercle de rayon un et elle converge sur le cercle lui-même si 6 < i; elle diverge, au contraire, à Texlérieurde ce cercle, puisque le rapport d'un terme au précédent étant
augmente indéHniment si | w | >> i .
Le cercle de rayon un est donc le cercle de convergence de la série précédente. M. Weierstrass a montré que la fonction ne pouvait pas être étendue analytiquement au delà de ce cercle. Voici une démonstration très simple de ce théorème que Ton trouve dans la Thèse de M. Hadamard. Nous allons montrer que, si l'extension analytique de la fonction est possible le long d'un arc déterminé a^ de la circonférence de rayon a/i, elle est possible pour tout arc de la circonférence. En effet, remplaçons, dans
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la série, z par
ze ''•
k et h étant des enliers positifs; la série ne changera pas à partir du rang A. Or on peut prendre k et h assez grand pour que
-^ soit aussi voisin que l'on voudra de tout nombre positif; par
suile, au point z de la circonférence correspond, par cette transformation, un point aussi voisin que l'on veut de tout point de la circonférence. Si donc la fonction peut s'étendre le long d'un arc, si petit qu'il soit, de la circonférence, V extension sera possible pour la circonférence tout entière. Mais alors la fonction serait certainement uniforme et continue à Tintérieur d'un cercle de rayon plus grand que un; la série devrait converger à l'extérieur de son cercle de convergence, ce qui est absurde.
Dans l'exemple précédent, la série dont l'extension est impossible est convergente sur sa circonférence de convergence si 6 a un module inférieur à un y mais la série des dérivées des termes successifs ne converge pas. M. Freedholm a indiqué un exemple très simple dans lequel la série et toutes ses dérivées sont convergentes sur le cercle de convergence, el où l'extension est d'ailleurs impossible. Cet exemple est fourni par la série très simple
OÙ a est une quantité positive inférieure à l'unité. Le cercle de convergence de celte série est le cercle de rayon un; la série et toutes ses dérivées convergent sur ce cercle. Je me bornerai à affirmer que cette fonction ne peut s'étendre au delà du cercle de rayon un, renvoyant, pour la démonslralion, à la Note de M. Freedholm (*).
Un résultat très général dans cet ordre d'idées a été obtenu par M. Borel (•^), qui a montré que la série
(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, a4 mars 1890. (') E. Borel, Journal de Mathématiques, 1896.
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dans laquelle les exposants c„ sont des entiers croissants et les coejficients an des nombres quelconques, ne peut être prolongée au delà de son cercle de convergence si le rapport
est, à partir d*un certain rang, supérieur à un nombre fixe.
Ce ihëorème est évidemment applicable à la série de M. Freedliolm. La considération de certains produits convergents et de divers développements en séries nous permettra bientôt d'indiquer d'autres exemples de fondions holomorphes dans un cercle et ne pouvant être prolongés au delà de ce cercle.
19- Nous avons fait connaître (T. 1, p. aSi) un théorème de Cauchj et de M. Hadamard relatif au domaine de convergence d'une série entière. Il n'y a qu'à remplacer les valeurs absolues par les modules pour avoir une proposition applicable aux séries que nous étudions maintenant. Soit donc une série entière
(i5) ao-+- «i-s H-. . .4- a/j^^-T-
Nous envisageons la suite à termes positifs
|ai|» /|«i|, ..., V|«m|,
Si cette suite contient des termes augmentant indéfiniment, la série donnée n'est jamais convergente, sauf pour 5 = 0. Car il existera toujours des valeurs de m en nombre infini pour chacune desquelles on aura
et le terme correspondant a^z"*^ ayant un module supérieur à un^ la série ne pourra être convergente. Tous les termes de la suite précédente restant compris entre deux quantités fixes, nous pouvons définir un nombre a correspondant à celte suite (T. I, p. 232), et, par conséquent, le rayon du cercle de convergence
sera égal à -•
Un cas particulier intéressant est celui où a = o. Puisque,
d'après la dénnition même de a, on peul, élanl donné s aussi petit qu'on voudra, déterminer m assez grand pour que tous les termes de la suite à partir du rang m soient inférieurs à a-|- e, il en résulte que \^\ a m \ aura zéro pour limite, et nous pouvons énoncer le théorème suivant : La condition nécessaire et suffis santé pour que le rayon du cercle de convergence de la série (1 5) soit infini est
lim Vl «/« I = o-
20. L'étude de la série (1 5), sur son cercle de convergence, présente de grandes difficultés. On trouvera, sur ce sujet, d'intéressantes propositions générales dans la Thèse de M. Hadamard (^), qui s'est proposé de trouver les points singuliers de la fonction sur son cercle de convergence. Dans son Mémoire sur la théorie générale des séries (^), M. O. Bonnet a utilisé autrefois les rapports entre la théorie des séries entières et celle des séries trigonométriques; citons encore le beau Mémoire de M. Darboux (') sur l'approximation des fonctions de grands nombres où la nature des points singuliers supposés connus sur le cercle de convergence est utilisée pour la recherche d'une valeur approchée des coeffîcients.
Nous nous bornerons à renvoyer à ces Mémoires, et nous nous contenterons de montrer comment le théorème démontré (T. I, p. 221), dans le cas où les coefficients et la variable sont réels, peut être étendu au cas actuel.
Soit Zo un point du cercle de convergence, et supposons que la série (i5) converge pour 5 = Zq\ on peut déduire immédiatement, comme l'a fait Abel, du théorème cité, que la limite des valeurs que prend la série quand ;; tend vers Zq^ en suivant le rayon allant de Vorigine au point z^^ est égale à la valeur même de la série pour z = ^o« Mais, comme nous l'allons voir, on peut aller
(') Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor {Journal de Mat/iématiques, 1892).
(») Mémoire sur la théorie générale des séries {Mémoires des Savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique, t.XXIII).
(') Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres {Journal de Liouville, 1877 ).
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UD peu plus loin en montrant que le théorème subsiste, quand z (restant bien entendu à l'intérieur du cercle) tend vers -3 o suivant une courbe qui n'est pas tangente en Zq au cercle de convergence. Il n'y a d'ailleurs presque rien à changer au raisonnement d'Abel. Nous supposerons, comme il est évidemment permis, grâce à une rotation préalable d'axes, que Zq est réel et positif.
La série
ao -h rti >5 -f- . . . -h a« s" -h . . .
étant convergente pour z-=Zq^ on peut prendre n assez grand pour que les sommes suivantes
Sp=anZ'l+,
aient, quel que soit /?, leur module compris enlre — e et -h e, e étant une quantité donnée à l'avance aussi petite que Ton voudra. Ceci posé, on peut écrire
-an'-r.][-'*(#>--'-(r.rV"ar
On aura, par conséquent, en posant
: p, I — — = r(cosa-f- e sina),
et remarquant que p est inférieur à e//i,
or, quand z tend vers Sq, r tend vers zéro et p tend vers l'unité, et, comme on a
p»= (i — rcosa)2-+- r^ sin'a = i — ar cosa -H r^ ,
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il en résulte
I — p 1 cosa — r
Or l'angle a représente l'angle fait par la droite {zZq) avec le rayon allant en ^o; donc, d'après Thypothèse faite, cosa ne tend
pas vers zéro, par suite reste fini. La démonstration s'achève
maintenant bien aisément. Il résulte de l'inégalité ci-dessus que le reste de la série, correspondant au rang n, sera, quel que soit 5, de module moindre que Me, M étant un nombre fixe. D'autre part, la somme des n premiers termes, étant un polynôme, est une fonction continue de 5; si donc :; est suffisamment voisin de 5o, la différence des valeurs de ce polynôme en z et en Zo aura un module moindre que e. Les deux séries pour z et Zq différeront donc d'une quantité dont le module n'atteindra pas
ce qui revient à dire, puisque e est une quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra, que la limite des valeurs de la série, quand z tend vers Zq^ est égale à la valeur môme de la série pour
21. Examinons, comme exemple de l'étude d'une série sur son cercle de convergence, le cas particulier assez étendu suivant : On suppose que, dans la série entière
«0 -H 3ti 5 -f- as 3' -+- . . . -h art-3"-f-. . ., les coefficients a©, a,, . .•, a„, ... soient tous réels, positifs, et aillent en décroissant, que la limite de -^^ soit l'unité, et la
limite de a«, zéro.
Remarquons de suite que, si la série était à terme alternativement positifs et négatifs et que, si les coefficients satisfaisaient en valeur absolue aux conditions précédentes, il suffirait de changer 5 en — z pour obtenir une série à termes positifs de la nature de celles que nous avons en vue.
Le rayon de convergence de la série précédente est évidemment
V unité, puisque la limite de 5^^^* 3 est z.
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Cela élant, nous allons démontrer que : La série entière considérée est convergente pour tous les points du cercle de convergence, sauf peut-être pour le point c = i .
Pour un point quelconque du cercle de convergence (R = i), on a
z = cos6 -h /sin 0.
La série que nous avons à étudier est donc de la forme, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
A -h t B •= ao -f- aicosô -+- a2cos>-0 -h. . .4- a„cosAi6 -f-, . . H- e[xisin6 -f- ajsin -iO -f-. . .-h a^sin /i8 -h. . .].
Or nous avons vu (t. I, p. 25 1) que les deux séries A et 6 étaient convergentes pour toutes les valeurs de 9, sauf peut-être pour 9 = ikTZ] notre proposition est donc démontrée.
22. Deux séries importantes rentrent dans le type précédent. Considérons d'abord la série
Lorsque z est réel et compris entre — i et -f- i, elle représente log(i -4- z). Ses coefficients satisfont aux conditions précédentes : le rayon de son cercle de convergence est un et elle est convergente pour tous les points de ce cercle, sauf peut-être pour le point 5 =: — I qu'il y a lieu de considérer en particulier. En ce point on a la série harmonique qui est divergente.
23. Considérons en second lieu la série m m {m — i) m{m — \),, Am — n-hi)
dans laquelle nous supposerons m réel. Cette série représente (i-h^)'" lorsque z est réel et compris entre — i et -f- i : son cercle de convergence a pour rayon l'unité.
Cherchons dans quel cas la série des coefficients
m{m'—\) /n ( m — I ) . . . ( /n — /i -«- I ) i-h/nH î^ ' -4-... H ^ î^ -+-...
satisfait aux conditions précédentes.
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8o CHAPITRE II. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
Nous avons déjà étudié celte série (t. 1, p. 222).
Si /n -4- I < o, les coefficients iront certainement en croissant à partir d'une certaine limite. On ne peut donc pas appliquer à la série (16) les conclusions qui précèdent. Elle sera divergente sur lout le cercle de convergence.
Si au contraire on a m -f- 1 !> «, la série des coefficients est convergente, et ses trrmes à partir d'une valeur suffisamment grande de m seront alternativement positifs et négatifs. La série proposée (16) est donc convergente sur tout le cercle de convergence, sauf peut-être pour le point 5 = — 1. En ce point même elle sera convergente si m est positif.
On trouvera des exemples plus étendus dans le Mémoire de M. Weierstrass [ Ueber die Théorie der analytisclien Facultàten {Journal de Cretle^ Band ol)].
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DE LA MÉTHODE ALTERNÉE. Si
DE LA MÉTHODE ALTERNÉE
Procédé alterné de M. Schwarz.
l. GoiTime nous l'avons dit (Cliap. 1, § 30), on peul, dans des cas étendus, passer, pour le problème de Dirichlel, d'un contour convexe à un contour plus compliqué. C'est ce qu'a montré M- Schwarz en faisant usage d'une méthode que nous allons exposer (*).
Un lemme préliminaire nous sera nécessaire. Étant donné un
contour aCbG et une courbe adb rencontrant le contour en a et b sans lui être tangent, nous avons considéré {Jig» 7) la fonc-
fC)
lion u harmonique prenant sur aCb la valeur zéro et sur aC b la valeur un. Nous avons vu que cette fonction tend vers une quantité comprise entre 5e>o et un quand (^, y) tend vers a ou 6 sur la
courbe adb. D'autre part (Chap. II, § 0), pour tout point de l'intérieur de Taire, u n'atteint pas la valeur un\ il en résulte que la
(») Schwarz, Monatsberichte, 1S70, et Œuvres complètes, t. II, p. 157. Voir aussi une Lettre du même auteur à M. Klein {Œuvres complètes^ t. II, p. 3o3) P. — U. 6
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Sa CHAPITRE III.
fonclion sur l'arc adb est inférieure à un nombre q plus petit que un. Nous avons donc
u<,q (sur Tare aû?6),
q étant plus petit que Tunité.
De cette remarque, on déduit une conséquence qui va jouer, dans la suite, un rôle fondamental. Désignons par v une fonction harmonique, prenant sur aC6 la valeur zéro et sur aC b des valeurs dont le module (valeur absolue) ne dépasse pas ff. La fonction
sera nulle sur aCb et positive sur aC'b, Donc, pour tout point de l'intérieur de l'aire
mais nous pouvons écrire celte inégalité sous la forme
et, puisque sur adb, u<Ciq^ il faut nécessairement que
^ -^ /Ç"^ > o (surarfô).
De même, on a
— gu -f- p < o
à l'intérieur de l'aire, et l'on en conclut
^f — gq<o (sur adb).
On a donc, sur l'arc adb^
l^Kê^q-
c'est l'inégalité fondamentale que nous voulions obtenir.
2. Nous abordons maintenant l'étude du procédé alterné de M. Scliwarz, et, pour plus de netteté dans l'exposition, plaçonsnous dans les circonstances les plus simples.
Nous considérons deux contours limitant deux aires qui ont une partie commune. Appelons a la portion du premier contour extérieure au second, et a la portion intérieure à ce second contour. De même 6 et ^ désigneront respectivement les portions du
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DE LA MÉTHODE ALTERNÉE, 83
second contour extérieure et intérieure au premier. On suppose que Ton sache résoudre le problème de Dirichlet pour le contour (a a) et pour le contour (bp); nous allons montrer qu'on pourra résoudre le problème pour le contour (ab).
Nous supposons donnée une succession continue de valeurs sur
(ab); on désignera par g le maximum de leur valeur absolue. D'autre part, à Tare ^ considéré par rapport au contour (a a), correspond un nombre plus petit que un^ d'après le paragraphe précédent, et de même pour Tare a considéré par rapport au contour (6^) correspond un autre nombre plus petit que l'unité; soit q le plus grand de ces deux nombres.
Formons une (onction iiarmonique Ui défînie dans le contour (aa)y prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a une succession continue de valeurs uniquement assujettie à la condition de prendre en m et n les mêmes valeurs que la première. Cette fonction aura certaines valeurs sur j3. Nous formons alors une fonction t^i définie dans (6^), prenant sur b la succession donnée de valeurs et sur p les mêmes valeurs que Ui. La fonction i'i prend certaines valeurs sur a; on formera une fonction «a, définie dans (aa), prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a les mêmes valeurs que t^i et Ton continue ainsi indéfiniment. On obtient, de cette manière, deux suites de fonctions
définies respectivement dans (aa) et dans (b^). Les u prennent sur a les valeurs données et les v prennent aussi sur b les valeurs données; Ua et i>, prennent les mêmes valeurs sur ^, tandis que Un et i^,i-i prennent les mêmes valeurs sur a : c'est ce que nous
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indiquons, pour plus de facilité dans la suite des raisonnements, par les flèches placées à gauche des deux suites. Nous allons établir le théorème suivant :
Les fonctions UnCt v» fendent chacune vers une limite quand n augmente indéfiniment. Ces limites représentent deux fonctions harmoniques qui coïncident dans l'aire comprise entre a et },
Remarquons que
f/3 — Ui~ v^ — t'i (sur l'arc a ).
Or, K'2 — V\ est nul sur 6, et Ton a
(ij — pj — Mj— «1 (sur l'arc p).
Donc, sur Tare a, | c'a — ^\ \ est moindre que le maximum de I «2— W| I sur p multiplié par q. Si, d'autre part, on remarque que «2 — Ui s'annule sur </, on voit que le maximum de 1 1/2 — Wi | sur ^ sera moindre que le maximum de | ^/o — '^1 | sur a, multiplié par q\ on aura donc, d'après ces inégalités successives,
I iH— "s I < ^*.( maximum de| Wj— m ,| ) (sur l'arc a;.
Le raisonnement est général; on a, de même,
I Un — W/i-1 I C q^'i maximum de | Un-\ — ««-j |) (sur l'arc a).
Si donc Ton pose : maximum de ] Ma — Ui\=^ g sur l'arc a, on aura
I Un -Un-x I < g^^»-^^g (sur l'arc a). Or
l/« = Ml -r- ( Mî— Ml ) -^- . . . -r- ( M„— M«, ).
11 en résulte que u,t tend vers une limite déterminée en tous les points de Tare a; de plus, pour tous ces points, u,t tend uniformément vers sa limite.
La série
M, -f ( Mi — M, )-+-...-+-( M« — Un-i ) -r- . . .
formée avec des fonctions harmoniques, étant uniformément convergente sur le contour (a, a), est donc convergente à l'intérieur de ce contour, d'après le théorème de M. Harnack (Chap. II, § 6), et
DE LA MÉTHODE ADTERNÉE. 85
représente une fonction harmonique que nous désignerons par w. La ronclion ii prend sur a la succession donnée des valeurs. Des raisonnements tout semblables montrent que Vn a pour limite une fonction harmonique t^, définie pour le contour (6 [3), et prenant sur b les valeurs données. Or, sur p, u,i = p„ et sur a, u,, = v„i. Par conséquent, sur l'arc a et sur l'arc ^, on a
Ces deux fonctions harmoniques, prenant la même succession continue de valeurs sur les arcs a et ^, coïncident nécessairement dans l'aire limitée par ces deux courbes. Une conséquence immédiate en découle; la fonction v est le prolongement analj'tique de la fonction u au delà de l'arc a. L'ensemble des deux fonctions u et V sert donc à définir une même fonction harmonique à l'intérieur de l'aire limitée par a el b; k l'intérieur de la courbe (aa), on se servira de u pour avoir la valeur de cette fonction, et l'on se servira de (^ pour avoir sa valeur à l'intérieur de la courbe (b^). L'unique fonction ainsi définie prend sur a et 6 la succession donnée de valeurs, et le problème de Dirichlet est^ par suite, résolu pour l'aire limitée par ces deux courbes.
3. Nous nous sommes placé, dans l'exposé précédent, dans des circonstances particulièrement simples. Les deux courbes considérées avaient seulement deux points communs m et p. D'autres cas pourraient se présenter, un peu plus compliqués, mais où la méthode s'appliquerait pour ainsi dire sans modification. Ainsi, par exemple ( /ig. 9), dans le cas où les deux courbes auraient
quatre points communs /n, /i, /?, 9, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour chacune des deux courbes, on pourra le résoudre pour la courbe extérieure à chacune des deux aires considérées. Les arcs appelés, tout à l'heure, a et 3 seront ici formés
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86 CHAPITRE m.
chacun de deux arcs distincts, ce qui n'entraîne aucune difi^rence dans la suite des raisonnements.
Indiquons encore un cas un peu dîHerent où Ton pourrait employer le procédé alterné. Je suppose que Ton sache résoudre le problème de Dirichlet pour toute aire limitée par un seul contour; nous voulons montrer que le procédé alterné permet de le résoudre pour une aire limitée par un nombre quelconque de contours. Il suffîra de considérer une aire limitée par deux contours C et CJ {/ig- lo).
Nous traçons deux courbes m/i, pq ne se coupant pas et reliant,
Fig. 10.
l'une et l'autre, un point de C à un point de C. Si Ton considère la courbe mn comme une courbe ayant deux bords, on peut dire que les courbes C, C et mn limitent une aire A, et, par hypothèse, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire. De la même manière, la cowrhe pq avec les courbes C et C limitera aussi une aire B qui n'a qu'un contour. Ceci posé, donnons-nous sur les deux bords de mn une succession continue, d'ailleurs arbitraire, de valeurs; nous supposons seulement que ces valeurs, en m et /{, coïncident avec les valeurs données sur C et C. On résoudra le problème de Dirichlet, pour l'aire A, en prenant ces valeurs sur mn et les valeurs données sur C et C; on obtiendra ainsi une fonction u^ prenant certaines valeurs sur pq. Considérant alors l'aire B, nous résolvons |)Our celte aire le problème de Dirichlet, en prenant sur C et C'ies valeurs données, et sur les deux bords de pq les valeurs de U\ ; on obtient ainsi la fonction v^. On continue ainsi indéfiniment, en considérant alternativement les aires A et B. Les fonctions u,i et Vn ont respectivement deux limites u et p, qui prennent les mêmes valeurs le long de mn et le long de pq. Les deux fonctions u eiv coïncident donc pour tous les points de l'aire limitée par C et C^
Les valeurs de w, de part et d'autre de /w/i, pourraient n'être
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DE LA MÉTHODE ALTER^ÉE. 87
pas le prolongement analytique les unes des autres, et, pour la
fonction t^, la coupure pourrait être pq. Mais, puisque m = ç' en
tous les points de l'aire, il s'ensuit que ni mn^ ni pq ne sont des
coupures et que la fonction représentée par u ou par v résout le
problème de Dirichlet pour l'aire limitée par C et C.
Quant à la démonstration des résultats précédents, ils résultent
de ce que le lemme § 1 est ici applicable. Si l'on considère uoe
fonction définie dans Taire Â, prenant sur C et Çl la valeur zéro
et sur les deux bords de mn la valeur c//i, on aura évidemment, en
lous les points de pq^
q étant inférieur à l'unité, et c'est cette remarque qui a joué le rôle essentiel dans l'exposition de la méthode alternée.
4. Faisons une application importante du procédé alterné. Nous avons démontré plus haut la possibilité de résoudre le problème de Dirichlet pour tout polygone convexe, à l'exclusion seulement du quadrilatère et du triangle. Tl est clair que le procédé alterné nous permet de considérer ces deux cas. Soit, en effet, le triangle abc {fig^ 1 1). Nous pouvons tracer le pentagone ca^y^
Fig. II.
et le pentagone ab-^'^'cL^, Pour ces deux pentagones, on peut résoudre le problème, et par suite le procédé alterné nous conduira, en prenant ces deux polygones, au triangle abc.
Montrons maintenant que le problème pourra être résolu pour tout polygone, qu'il soit ou non convexe. 11 suffira de prendre le quadrilatère concave abcd {Jig. 12); en prolongeant ad et de nous avons les deux triangles aba' et bcd', et, par suite, nous pouvons passer, à l'aide de ces deux triangles, au quadrilatère abcd.
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