I. Propriétés fondamentales du potentiel logarithmique

1- Avant d'exposer la méthode de M. Poincaré, nous devons faire connaître les propriétés fondamentales de la fonction connue bOiis le nom Ag potentiel logarithmique.

Le potentiel logarithmique est, pour le cas du plan, l'analogue du potentiel ordinaire que nous avons étudié au Tome I pour le cas de Tespace. Dans Tespace, la loi de l'attraction était la loi de la raison inverse du carré de la distance. Dans le plan, on suppose t|ue les points s'attirent en raison inverse de la dislance : les composantes de l'attraction exercée par un point A (a, 6) de masse m sur un point M (:r, y) de masse w/i, seront alors

m{a-x) ni{b—y)

OÙ /•- = (x — a)' -h {y — b)'K En posant

V = /n log-* on aura

ox ày

et V sera dit le potentiel logarithmique.

Si Ton a des masses remplissant d'une manière continue une certaine aire, avec une densité p fonction continue de (a, 6),

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on a

les intégrales étant étendues aux masses agissantes. Dans tout ce qui suit, p sera une quantité essentiellement positive, comme nous Pavons d'ailleurs supposé dans la théorie de Fattraction pour le cas de l'espace. Le potentiel V sera défini par l'intégrale double

V= r f p\o^-^dadb.

. 2. L'étude de cette fonction V est entièrement semblable à l'étude de la fonction désignée par la même lettre, que nous avons étudiée au Tome I (p. 177 et suiv.). Nous ne croyons pas utile d'insister sur les démonstrations, el il nous suffira d'énoncer les résultats.

Le potentiel logarithmique est une fonction continue de ^ et y dans tout le plan, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, et l'on a pour tout point {oc^y)

dx dy

L'étude des dérivées secondes se fait (voir loc, cil.) en supposant que p ait des dérivées partielles du premier ordre pour tous les points intérieurs à la masse.

Des raisonnements analogues montrent encore que les dérivées secondes sont aussi continues à l'intérieur et à l'extérieur des masses agissantes, mais elles sont discontinues pour la courbe de séparation.

Pour tout point extérieur aux masses, la fonction V est harmonique; pour tout point (a:, y) intérieur, on a, au contraire,

p désignant la densité au point {x,y).

Ajoutons que la fonction V ne s'annule pas à Tinfini et qu'elle peut avoir un signe quelconque; ces deux circonstances sont fort importantes et, dans les applications, elles rendent souvent plus

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