SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. 9I

difficiles les questions concernant le cas de deux dimensions. En eflet, pour l'espace, V est toujours posilif et s'annule à Tinfini.

3. Nous venons de considérer le cas où la distribution des masses est superficielle ; nous aurons à co.nsidérer tout à l'heure des masses dont la distribution est linéaire, de telle sorte qu'on a alors

V = y p log i ds,

rintégrale étant étendue à la courbe sur laquelle est étalée la couche attirante de densité linéaire p. Dans ce cas V est encore une fonction continue dans tout le plan, mais les dérivées du premier ordre éprouvent une discontinuité en traversant les courbes attirantes. C'est ce que nous avons rencontré pour les surfaces attirantes (t. I, p. 191); les démonstrations sont entièrement analogues dans les deux cas.

4. Développons davantage deux propriétés du potentiel logarithmique qui vont jouer un rôle essentiel dans la méthode de M. Poincaré.

La première est relative à la substitution aux points attirants à l'intérieur d'un cercle d'une couche linéaire placée sur sa circonférence.

Soient un cercle de centre O et de ravon R, A un point extérieur et P un point intérieur.

La quantité log^rp» dans laquelle nous considérons le point A

comme fixe et P comme variable, est une fonction des coordonnées de P, harmonique dans tout le cercle. En tout point M de la circonférence, elle prend la valeur log ttï" O" 2i"ra donc

Ar J AM .^^j^ Mp

d'après la formule de Poisson qui résout le problème de Dirichlet pour le cas du cercle. Nous savons, d'autre part, d'après la même formule, que

(2) 1= / z=^ds.