II. — Théorème de Hiemaxm-Roch. Des fonctions spéoiales
4. Nous allons maintenant approfondir l'étude des relations (4) pour résoudre le problème suivant, qui est fondamental dans la théorie des fonctions algébriques :
JE tant donnés ^points sur une su? face de Riemann, de combien de constantes arbitraires dépendent les fonctions ration-
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nelles qui nont d*autres pôles {supposés tous simples) que ces \k points ou quelques-uns d'entre eux?
La recherche de ce nombre reviendra à la discussion des équations (4), que j'écris de nouveau
Si les premiers membres de ces p relations, regardés comme fonctions linéaires et homogènes de a,, a^, . . ., a^i,, sont linéairement indépendants, on pourra tirer de ces équations p des lettres a en fonction des jjl — p autres, et, par suite, l'expression générale (3) de F renfermera
constantes arbitraires. Ce résultat est dû à Riemann; il convient en quelque sorte au cas général. Il est facile de le compléter, de manière à avoir un énoncé applicable à tous les cas, comme l'a indiqué Roch (*).
Supposons que, parmi les polynômes (4) du premier degré en «1 , aj, . . • , ajjt, il y en ait seulement/? — a linéairement indépendants. On pourra exprimer alors a d'entre eux en fonction des p — or autres : soit les o* derniers en fonction des p — o* premiers. On aura ainsi les identités
Qp-<J-fi(ÎA-, -nk) = Xi Qi (U, -Tik) -*-... -H y^p-a Q/»-<j(U» -ru) \
Q/»-(t+s(5a-, -rik) = [M Qi(Ça, tQa) -♦-...-h iif^aQp-viU-y m) ( //. , ^ ,,.
OÙ X, [A, . . ., y sont des constantes ne changeant pas avec k.
Or ces relations montrent que les a- courbes adjointes d'ordre m — 3,
Ri (^, y) = Q/»-<r+i (a^i y) — XiQi(^, r) — • • .— >'a>-<tQ/^-<t(^, 7)» »
R(T(a:, r) = Qpi^y y) — ^'i Qi (^» r ) — • • • - vp-<jQp-a(^, y)i passent par les [a points considérés de la surface de Riemann. Ces
( » ) Roch, Journal de Crelle, l. 6i.
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476 GHAPITBB XV.
T polynômes adjoints sont d^ailleurs bien évidemment, par leur forme même, linéairement indépendants. On voit donc qu'il y aura o- polynômes adjoints d'ordre m — 3 linéairement indépendants s'annulant pour les [jl points. Il n'y en aura pas davantage, car, dans cette hypothèse, on aurait un polynôme
B, R,H-. . .-+- BaRff-h A,Q,-f-. . .-h A;,-.<jQ^a,
où les constantes A ne seraient pas toutes nulles, qui s'annulerait pour (il, r,,), ..., (ijj.» T^»ti). Il s'ensuivrait
On conclut de là qu'un des polynômes Q,, Qa, . . ., Q/,ff pour (^Aj t\k\ soit par exemple le dernier, s'exprimerait, quel que soit A:, par une même combinaison linéaire des autres. Les expressions
pour /r = i, 2, ..., [JL, s'exprimeraient par des combinaisons linéaires de
et, par suite, il y aurait moins de /> — a- polynômes (4) linéairement indépendants.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Si, par les {x points donnés, on peut faire passer un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — 3 renfermant (d'une manière homogène) t constantes arbitraires, les équations (4) se réduiront à /? — a d'entre elles, et, par suite, parmi les constantes
p — 0" pourront s'exprimer à Paide des autres. Le nombre des constantes arbitraires figurant dans F sera donc
\L — (j[>(j)-i-i ou fi— />-+-! 4- <i,
en tenant compte de la constante ol^^^ : c'est le théorème généralement désigné sous le nom de théorème de Riemann-Roch.
On remarquera que, parmi les constantes a, il peut y en avoir de nécessairement nulles, comme conséquence des équations (4)* La fonction, dont nous venons de trouver l'expression générale
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et de dénombrer les constantes arbitraires, aura alors moins de y. pôles; aussi avons-nous eu soin d'indiquer dans Ténoncé du problème de RIemann-Roch que la fonction cherchée avait pour pôles les [JL points donnés ou quelques-uns d'entre eux.
5. Lorsque le nombre a- n'est pas nul, le nombre [x des points est évidemment au plus égal à
puisqu'une adjointe Q d'ordre m — 3 rencontre la courbe / seulement en 2p — 2 points en dehors des points multiples. Le degré de la fonction est alors au plus égal à 2/> — 2. Qi]jind o- est différent de zéro, nous dirons que la fonction F est une fonction spéciale.
Nous allons établir que toute fonction spéciale peut se mettre
sous la forme ^> Q etQi étant deux polynômes adjoints d'ordre
Soit, en effet, Q(^, ^) un polynôme adjoint d'ordre m — 3 s' annulant pour les pôles de la fonction F. Envisageons l'intégrale
le produit QF reste fini pour les pôles de F; d'autre part, pour le point à l'infini sur chacun des feuillets, il est infini de l'ordre de x'""'. On voit donc que l'intégrale précédente restera finie sur toute la surface de Riemann. On a par suite
QF = Qi,
Qi élant encore un polynôme adjoint d'ordre m — 3. Cette démonstration si simple est due à M. Klein (*). Il est bien clair que, inversement, tout quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 est une fonction spéciale, puisque, pour ce quotient, ^ est au moins égal à l'unité.
(*) Voir les Leçons de M. Klein sur la théorie des fonctions elliptiques modulcUres, t. I. Le troisième Chapitre est consacré k un exposé général de la théorie des fonctions algébriques; l'étude de cette large esquisse ne saurait être trop recommandée.
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6. MM. Brill et Nulher ont complété le théorème de Riemann- Roch en indiquant une loi de réciprocité, relative au cas où t n^est pas nul, que nous allons maintenant faire connaître ( ' ). Considérons une fonction spéciale avec les pôles
par ces [jl points passent o- courbes Q linéairement indépendantes, soient
Qi, Qî, ..., Qd.
Une de ces courbes, la première par exemple, rencontrera, en dehors des points multiples, / en jx' autres points
Formons le quotient
où les c sont des constantes arbitraires. Cette fonction o ne peut devenir infinie qu'aux points J^. Or la fonction uniforme la plus générale ne pouvant devenir infinie qu'aux points Ç contient, d'après le théorème de Riemann-Roch,
constantes arbitraires, en désignant par a-' le nombre des courbes adjointes d'ordre m — 3 linéairement indépendantes passant par les points Ç. On a donc, puisque » contient <t arbitraires,
(5) (j^|jt'jt?-H(x'-Hi.
Mais, en partant des points 2^, on pourrait raisonner comme nous l'avons fait en partant des points ^, en considérant la fonction
Qi
et en désignant par Qi, Q^, . . ., QV les «j' polynômes adjoints d'ordre m — 3 s'annulant aux points Ç. On aurait alors
(6) (j'< jx— /?H-H- <T.
( * ) Brill et Nôtuer, Math. Annalen, t. VII.
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Des deux inégalités précédentes, on conclut
a -f- a'£ a -h ex'.
Il faut donc que les deux inégalités (5) et (6) soient des égalités, et, par suite,
a' = |x — /? 4- ff -+- 1 , ce qui revient à Tunique relation
C'est ta loi de réciprocité de Brill et Nôtlier.
Des relations ainsi obtenues, on peut déduire le théorème démontré dans le paragraphe précédent. La relation
montre que la fonction <p' est la fonction la plus générale a^^anl pour pôles les points \ ou une partie d'entre eux : toute fonction spéciale est donc bien un quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3.
7. Le degré d'une fonction spéciale est au plus égal à *ip — 2. Il n*est pas inutile de montrer <\\\Hl peut effectivement atteindre cette limite. Geci revient à dire qu'il n'y a pas, en dehors des points multiples, de points par lesquels passent toutes les adjointes d'ordre m — 3 : ce que nous avons vu précédemment (Chap.XlV, §11).
III. — Des transformations birationnelles des courbes en elles-mômes.
8. Avant d'étudier les transformations birationnelles d'une courbe en une autre courbe, comme nous le ferons dans la section suivante, arrêtons-nous sur les transformations birationnelles d'une courbe en elle-même. Une courbe
admettra une transformation birationnelle en elle-même si, po-
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48o CHAPITRE XV.
sant
P ei R élant des fonctions ralionnelles de x et y, le point (x\ y) décrit la courbe / quand {x,y) la décrit lui-même et que, de plus, on puisse tirer de ces deux équations
Vi et R| étant encore rationnelles, en tenant compte, s'il est nécessaire, des relations /{x, y) = o et /(x', y) = o.
Un cas intéressant est celui où la transformation précédente dépend d'un paramètre arbitraire. M. Schwarz a montré (*) que les courbes du genre zéro et du genre u« sont tes seules qui puissent être transformées en elles-mêmes par une substitution birationnelle renfermant un paramètre arbitraire.
Je vais démontrer le théorème de M. Schwarz en suivant la voie qui m'a servi à établir une proposition analogue pour les surfaces algébriques (^). Soit
la transformation birationnelle où nous mettons en évidence le paramètre t dont P et R sont des fonctions analytiques d'ailleurs quelconques. Considérons p intégrales distinctes de première espèce
r^x(x,y)dx r(i.p{^.y)dx
en supposant la courbe de genre supérieur à un. L'élément
Q,(x',y)rfx'
Ty
quand on remplace x' et y par leurs valeurs (8) en x eiy^ prendra
(») Schwarz, Journal de Crelle, t. 87.
(*) E. Picard, Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Mathématiques, Chap. III, 1889, et Comptes rendus, 1886).
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la forme
Qi(x,y)dx ^ Qp(x,y)dx
At j-, h . . . -i- A|, 77 ,
Jy Jy
puisqu'une intégrale de première espèce doit nécessairement, après la transformation, rester encore une intégrale de première espèce. Ecrivons donc
/^. ^\{^\y')dx' ^\{x,y)dx Qp{x,y)dx
(9) -p = Al j-, h...+ A/,
Jy' Jy Jy
Les coefficients A, qui sont des constantes par rapport k x et y,
pourraient a priori être des fonctions du paramètre t, mais nous
allons montrer qu'ils n'en dépendent pas. On le verra tout de
suite par la considération des périodes. Donnons en effet à t une
valeur arbitraire, mais fixe, et faisons décrire un cjcle au point
(x,y), auquel correspondent pour les p intégrales envisagées les
périodes
toj, (Oj, ..., a>y,;
le point (x'^y) décrira aussi un cycle, et soit iù\ la période correspondante évidemment indépendante de t. On aura donc
w ', = A 1 0)1 -f- Aj a>2 -h . . . -1- Ay, (Oy, .
En faisant décrire à {oc^y){p — i) autres cycles, nous obtiendrons/? — I autres équations de cette forme, et, comme on peut toujours supposer les p cycles tellement cboisis que le déterminant des périodes correspondant à ces p cycles soit différent de zéro (on pourra prendre par exemple les cycles correspondant aux périodes relatives aux coupures C), on voit que les quantités A se trouvent complètement déterminées par des relations où ne figure pas le paramètre / : elles sont donc indépendantes de ce paramètre.
On aura de même
, , (it{x\y)dx' Q^(x,y)dx , Q„(x,y)dx
Jy' Jy Jy
les coefficients B étant aussi indépendants de t. De (9) et (10), on conclut
. . Qi^fV/) AiQi(a:, r) -^-' • •-»- A;,Q;,(g, y)
p. - II. 3f
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48a CHAPITRB XT.
Or une telle égalité amène à une contradiction, car elle établit entre {x, y) el ( j:', y') une relation où ne figure pas de paramètre arbitraire, A tout point {x^y) de la courbe ne pourrait correspondre alors qu'un nombre limité de points (x',^) de celte même courbe, tandis que, par les relations (8), le point (^', >^) varie d'une manière continue avec t^ quand (j:,^) reste fixe. L'hypothèse p > i est donc impossible, et le théorème est établi.
Le point capital dans la démonstration précédente a été de montrer que les coefficients A ne dépendent pas de t : c'est ce que nous avons montré plus haut, en considérant les périodes. On peut y parvenir par une autre voie.
Reprenons la substitution
Les coefficients figurant dans les fonctions rationnelles V{x^y) et R(x, j^) sont, avons-nous supposé, des fonctions d'un paramètre; mais, d'autre part, ces coefficients seront nécessairement des fonctions algébriques d'un ou de plusieurs d'entre eux restant arbitraires; désignons ceux-ci par la lettre Q. Dans ces conditions, reprenons l'équation
q^{x\y)dx' Qi(x,y)(/x QfAx,y)dx
T77- — Al — h. . .-^ A,j — : jr, :
^.> Jy Jy
les A vont être des fonctions algébriques des quantités Q. Or je dis que ces fonctions doivent être des constantes. Écrivons, en effet, la relation précédente sous la forme
^x:,y: Jy' f^^ ^U,r.
Sy
k^\^y\) correspondant à (^o^JKo). Ceci posé, laissons i^x^y) fixe ainsi que {x^^y^)\ le second membre va être une fonction algébrique des 6; si celte fonction ne se réduit pas à une constante, elle deviendra infinie pour certaines valeurs des 8; or cela est impossible, car le premier membre est une intégrale de première espèce, et, de plus, x^ el y^ étant aussi des fonctions algébriques des 9, le point analytique {x^^y') ne décrit pas une infinité de cycles avant d'arriver aux limites de l'intégration correspondant
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à des valeurs des 6 qui rendraient inGni le second membre. L'expression
ne dépend donc pas de 6; c'est donc une intégrale fixe de première espèce, attachée à la courbe
par suite les coefficients A doivent eux-mêmes séparément être indépendants de 6; ce qui nous donne de nouveau le résultat annoncé.
9. La démonstration qui vient d'être donnée du théorème de M. Schwarz permet d'établir immédiatement une proposition énoncée, je crois, pour la première fois par M. Klein : Peut-il arriver qu'une courbe de genre supérieur à l'unité admette une infinité discontinue (*) de transformations birationnelles en ellemême? La réponse est encore négative, et l'on peut la légitimer en adoptant la voie que j'ai suivie pour établir (foc. cii^ un théorème analogue relatif aux surfaces (2). Supposons que nous ajons une courbe admettant une infinité de transformations birationnelles en elle-même. Prenant une quelconque de ces transformations
et opérant comme plus haut, nous serons conduit à une relation de la forme (11). Toutes les transformations qui transforment la courbe en elle-même doivent donc être données par une relation de cette forme où l'on donne aux constantes A et B des valeurs convenables. Or, partant a priori de cette équation (11), nous pouvons chercher à quelles conditions elle définira une correspondance birationnelle entre {x^ y) et (x', y'). Ces conditions
(') Nous entendons, par une infinité discontinue, des transformations en nombre infini ne dépendant pas de paramètres arbitraires.
{•) Voir aussi E. Picard, Sur les transformations birationnelles des courbes algébriques en elles-mêmes {Bulletin de la Société mathématique, t. XXI).
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établissent évidemment un certain nombre de relations algébriques entre les A et les B. Alors, de deux choses Tune : ou bien ces relations déterminent un nombre Jini de valeurs de A et B, et il n'y a dans ce cas qu'un nombre limité de transformations de la courbe en elle-même; ou bien une ou plusieurs des quantités A et B restent arbitraires, el alors la courbe admet une transformation birationnelle renfermant un paramètre arbitraire. Or cette dernière circonstance est impossible si le genre est supérieur à un. Il ne peut donc y avoir pour les courbes de genre supérieur à un qu'un nombre limité de transformations birationnelles de la courbe en elle-même (*).
10. Il est facile de voir que les courbes de genre zéro et un admettent une suite continue de transformations birationnelles en elle-mêmes. La chose est évidente pour les courbes de genre zéro pour lesquelles on peut, comme on sait (^), exprimer x et ven fonction rationnelle d'un paramètre 0 et de telle manière qu'à un point arbitraire de la courbe ne corresponde qu'une valeur de 8. Soient donc
en remplaçant 6 par ^ ,> où a, 6, c, d sont des constantes quelconques, nous aurons
et il est manifeste qu'il y aura entre (x^y) et (x, y') une correspondance birationnelle dépendant de trois paramètres arbitraires. Passons aux courbes de genre un. Cette courbe, supposée de
degré m, a alors
points doubles. Marquons sur la courbe m — 2 points A en dehors
(^) L'élude des courbes de genre supérieur à Funilé admeltant un nombre fini de transformations birationnelles en elle-roômes a clé faite d'une manière très complète par M. Hurwitz {Math, Annalen, t. XLI).
(') Ce théorème élémentaire sera établi au Chapitre XVII.
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des points doubles ('). Par ceux-ci et les points A, on peut faire passer un faisceau d'adjointes d'ordre m — 2 dépendant d'un paramètre arbitraire, puisque
m(in — 3) (m — 2)(/7i-4-i)
Soit
(la) Pi-i-XP, = o
Féquation de ce faisceau où X est un paramètre arbitraire. Le nombre des points de rencontre variables des courbes de ce faisceau avec la courbe est
m{m — a) — m{m — 3) — (m — 2), c'est-à-dire 2.
Ces points sont certainement tous deux mobiles avec X. L'un de ces points peut en effet être choisi airbitrairement puisqu'on peut choisir X de telle manière que la courbe (12) passe en un point arbitraire, et le second point ne peut pas être indépendant de \j car alors la courbe serait unicursale.
Cette remarque faite, les deux points (^, y) et (j;', y) de rencontre variables avec \ se correspondent uniformément, et cette correspondance définit par suite une transformation birationnelle de la courbe en elle-même. Or cette transformation dépend de la position des points A bases du faisceau (12). Supposons que parmi ces points un seul varie, soit A| ; on voit de suite que la correspondance entre (^, y)^ {x'^ y) varie aussi, sinon nous aurions un faisceau de courbes d'ordre m — 2, passant par les points fixes {x^ y)^ (x\y) et les points Aa, ..., A,„2» q"i aurait le seul point de rencontre mobile A|, et la courbe serait unicursale.
Nous avons donc formé, pour la courbe de genre un considérée, une transformation birationnelle dépendant d'un paramètre arbitraire. Ajoutons quelques remarques importantes. J'écris la transformation sous la forme
x'= P{:r,y,xi,yi).
( * ) Nous faisons l'hypothèse que la courbe a seulement des points doubles uniquement pour simplifier les calculs.
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laissant en évidence les coordonnées (xi^yt) du point que nous avons désigné par A|. En prenant {x\y y\) à la place de (^i,yi), on aura
et de ces deux transformations résulte une transformation birationnelle entre (x', y) et (.2/', y). On peut la regarder comme une transformation dépendant d'un paramètre arbitraire (x\, y',), et, pour une certaine valeur de ce paramètre {x\ = Xt, y^ =JKOj elle se réduit à la substitution identique. Nous pouvons donc, supprimant maintenant un accent, former une transformation birationnelle de notre courbe
dépendant d'un paramètre arbitraire t et se réduisant, pour une certaine valeur de t, soit t^, à la substitution identique
Or prenons l'intégrale de première espèce : en raisonnant comme plus haut, nous avons
q{x,y)dx , q(x',y)dx'
A ne dépendant pas de t. Or, pour t = t^^ on a x'= x^ y=y^ /donc A = I ; nous pouvons donc écrire
Q(x,y)dx Q(x\y)dx'
et la transformation (i3) donne l'inlégrale générale de cette équation différentielle, t étant le paramètre arbitraire. On peut encore dire que la relation algébrique (i3) équivaut à la relation transcendante
-''''' Q{x, y) dx __ r'''^'Q{x\y)dx'
OÙ h est une constante arbitraire. Dans le cas de l'intégrale elliptique, l'équation différentielle que nous venons ainsi d'intégrer est la célèbre équation d'Euler.
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