O CHAPITRE XIV. — DES INTÉGRALES ABÉLIEXNES

Or le nombre des points de rencontre de / avec les courbes de ce faisceau est

ni{ni^i) — \a/.i(t — 0 ou m — 'x-^o.p.

On pourra donc prendre m — i-\-p points arbitrairement et les p autres s'ensuivront, leurs coordonnées étant fonctions algébriques des coordonnées des premiers. Ceci posé, nous pouvons établir que la somme d^un nombre quelconque d* intégrales abéliennes de première espèce est égale à une somme de p intégrales dont les limites sont des fonctions algébriques des limites des premières. Nous voulons dire par là que la somme des A* intégrales

XhYh

, *^J^«ro

où (^oiJKo) est un point fixe de la courbe, peut s'exprimer par une somme de/> intégrales

où les ($xi 'f\\) sont des fonctions algébriques des (x/,^ yh)-

La démonstration est immédiate : il suffit de montrer Texactitude du théorème pour p + i intégrales. Or, parmi les m — 2 -{-/? points de rencontre dont nous disposons arbitrairement, supposons que p + 1 coïncident avec les limites données de nos intégrales, les autres étant des points fixes. L'application du théorème d'Abel nous permettra d'exprimer la somme des /? -f- 1 intégrales par une somme de/? intégrales dont les limites ^sont fonctions algébriques des/? -|- i premières limites. La proposition est donc établie.

I. — Décomposition des fonctions rationnelles de rr et j^ en éléments simples.

1. Les fonctions uniformes F sur la surface de Riemann, dont nous allons nous occuper dans ce Chapitre, n'ont d'autres points singuliers que des pôles; ce sont, par conséquent, des fonctions rationnelles de x et y^ en désignant toujours par

Téquation de la courbe algébrique de degré m qui définit la surface de Riemann.

Nous commencerons par définir le degré d'une fonction F, en montrant que l'équation

C étant une constante arbitraire, a toujours le même nombre [x de racines, quelle que soit la constante C; ce nombre [x sera le degré de la fonction. Il suffit, pour l'établir, de faire voir que le nombre des racines de cette équation est égal au nombre des pôles de F. Considérons à cet effet l'intégrale

(') Après les Mémoires déjà cités de Riemann, un travail capital sur ce sujet est celui de MM. Brill et Nôther {Mathemaiische Annalen, t. VII); les questions y sont traitées à un point de vue purement algébrique.

prise le long du contour K qui rend la surface de Riemann simplement connexe. D'après un théorème fondamental de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann, cette intégrale sera égale à la différence entre le nombre des racines de Téquation (i) et le nombre des pôles de F; or l'expression (â) est nulle, puisque, F étant uniforme sur la surface, les éléments se détruisent deux à deux. Le nombre des racines de (i) est donc indépendant de C : c'est ce que nous appellerons le degré de la fonction F. H est clair que le théorème précédent peut être considéré comme la généralisation du théorème fondamental de la théorie des équations. Dans le cas du plan simple de Cauchy et d'un polynôme en x de degré m, on a une fonction ayant m pôles (un pôle multiple d'ordre m à l'infini); elle a donc m racines.

2. Les intégrales normales de seconde espèce vont nous servir d'éléments simples pour décomposer une fonction F. Supposons que cette fonction ait [x pôles que nous supposerons simples (*), 5«» ^2? •••7 Ç|i) et soient a,, a2, ..•, a^ les résidus correspondants. Formons les intégrales normales de seconde espèce

Ej, Ex, ..., Eji.

correspondant à ces [x pôles. La diiTérence

F — (aiE,-+- a,E,-r. . .-h HjjlE^)

n'a manifestement plus de pôle; elle doit donc se réduire à une intégrale de première espèce. Or les périodes de cette intégrale de première espèce correspondant aux coupures D sont nulles, puisque F n'a pas de périodes, et que les périodes relatives aux coupures D des intégrales normales de seconde espèce sont nulles. Mais nous savons qu'une intégrale de première espèce, pour laquelle les périodes relatives aux D sont nulles, se réduit nécessairement à une constante (§ 13, Chap. XIV). Nous avons donc V identité fondamentale

(3) F = a|Ei-f-a,E,H-...-hajjLE,jL-t-*jjL-4-i,

les a étant des constantes.

(^) Dans la suite, nous supposerons toujours que les p6Ies dont il sera parlé sont des pôles simples.

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PONCTIONS UNIFOBMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. t\''jZ

On voit qu'on obtient ainsi une décomposition de la fraction rationnelle dans laquelle les inté^^ales normales de seconde espèce jouent le rôle d^éléments simples. La formule précédente peut être considérée comme la généralisation de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

3. La fonction F étant uniforme sur la surface de Riemann, les périodes relatives aux coupures G doivent être nulles. Nous avons donc les/7 relations

Nous devons d'abord remarquer que l'expression (3) sera certainement une fonction rationnelle de x et y, si les constantes a vérifient les relations (4), car celles-ci expriment que les périodes de

relatives aux coupures C, sont nulles; comme, d'autre part, les périodes relatives aux coupures D sont aussi nulles^ l'expression précédente n'a pas de périodes, et esl, par suite, une fonction uniforme.

Nous allons faire, tout à l'heure, une étude approfondie de ces relations. Pour le moment, déduisons-en la remarque capitale, qu'iY ne peut exister de fonction rationnelle de x et y ayant jx pôles simples arbitraiiiement donnés, si

Il suffira de le montrer pour [jl=/?. Les p relations précédentes entraîneraient

Qi(5i,^i) Qi(5i,^t) ... Qi(ï^,T)j,) Qj(Çi,iii) Qî(eî,^î) ... Qi($pL,v)

et nous avons déjà dit que ce déterminant ne pouvait être nul si les p points (Ç>i, yja) sont arbitraires. Dans ses Leçons sur la théorie des fonctions abéliennes, M. Weierslrass prend le théo-

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rème précédent comme défini lion du genre. Se plaçant à un point de vue purement algébrique, il commence par établir qu'il y a un certain minimum au-dessous duquel ne peut descendre le nombre des pôles simples, supposés arbitrairement choisis, d'une fonction rationnelle de x et ^. Ce nombre minimum, diminué d'une unité, est ce que M. Weierstrass désigne par la lettre p et appelle le rang de la courbe : ce nombre p n'est autre que le nombre/? de Riemann, d'après la remarque que nous venons de faire. J'indiquerai, dans la dernière section de ce Chapitre, comment Weierstrass établit l'existence de ce minimum.

Si l'on a /? + I points arbitraires, on pourra obtenir une fonction F n'ayant d'autres pôles que ces points. Les a seront alors déterminés (ou du moins leurs rapports) par les équations écrites plus haut.

Il est facile à^ former effectif ement une fonction ayant p -i- i

pôles arbitraires. On peut, en effet, faire passer par/? -h i points

arbitrairement donnés une adjointe d'ordre m — 2, soit P(j?, ^);

elle rencontrera la courbe, en dehors de ces points et des points

multiples, en

m -hp — 3

autres points. Par ces derniers, on peut au moins faire passer deux adjointes distinctes d'ordre m — 2, comme le montre de suite le dénombrement des conditions. Prenons l'adjointe P(^, y) pour l'une d'elles, et désignons par Pi (a:, y) la seconde, le quotient

a pour^pôles les /? + i points primitivement donnés.