Nous parlons de la courbe algébrique

de degré m et de genre p au moins égal à trois. Prenons sur elle p — 3 points arbitraires; on pourra faire passer par ces points un réseau

(i4) aiQi-+-aîQîH-ajQ3=o

de courbes adjointes d'ordre m — 3, puisqu'une adjointe de cet ordre est déterminée par/? — i points arbitraires. Faisons alors la transformation

A la courbe y va correspondre une courbe

Ces courbes, en général, se correspondront point par point. Dans quels cas pourrait-il en être autrement? Il faudrait qu'à tout point (X, Y) de F correspondissent au moins deux points de /", et, par suite, que les deux adjointes

XQi(:r,j)-Q,(:r,^) = o,

OÙ X et Y désignent des constantes, aient, dès qu'elles ont un point commun avec /*, au moins un autre point commun (en dehors des points multiples et des/; — 3 points bases du réseau).

Ceci revient à dire que toutes les adjointes du réseau (i4) qui passent par un point d'ailleurs arbitraire de / ont nécessairement au moins un autre point commun sur f. Nous verrons dans un moment que cette circonstance ne peut se rencontrer que pour une famille particulière parfaitement caractérisée de courbes de genre/? que l'on appelle courbes hyper elliptiques. Sous le bénéfice de ce résultat supposé acquis, nous pouvons dire que les courbes y et F se correspondent point par point, si la courbe/" n'est {)as hyperelliptique.

Cherchons quel sera le degré de la courbe F. Les intersections

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d'une droite quelconque

AX-hBY-+-G = o correspondront aux points de rencontre de la courbe

AQ,(a7,^) -+- BQ,(a7, 7) ^ GQi(a:, j) = o

avec/*, en laissant de côté les points multiples et les /? — 3 points base du réseau. Nous aurons donc un nombre de points égal à

ip — 2 — {p — 3) ou p-r-\.

Le degré de la courbe F est donc égal à p -{- \. On peut donc faire correspondre point par point toute courbe de genre p à une courbe de degré /? + i , sauf le cas exceptionnel réservé.

La courbe F aura des points doubles provenant des solutions distinctes (^, r), {^'^y') des deux équations

Q.(^',/) QîC^'iy) QiC^',/)'

L'étude de ces deux équations ne présente pas de difficultés, mais il est inutile de la faire; car le nombre des points doubles est immédiatement déterminé, puis(|uc le genre de F est égal à/?, les deux courbes y et F se correspondant point par point. Le nombre o de ces points doubles sera donc donné par Téquation

13. Nous devons maintenant faire Tétude approfondie du cas exceptionnel où la transformation (i5) n^est pas birationnelle. Dans ce cas, toute courbe du réseau (i4) qui passe par un point de /passera nécessairement par un ou plusieurs autres points; ou bien encore, toutes les adjointes passant par p — 2 points arbitrairement choisis sur / rencontreront encore cette courbe en un ou plusieurs autres points fixes (sans parler, bien entendu, des points multiples).

Soient A|, Ao, . . . , Ay,2 les/? — 2 points arbitrairement choi-

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490 CHAPITKE IV.

sis. Plusieurs circonstances pourraient, a priori, se présenter (• ). Admettons d'abord que toutes les adjointes passant parles A aient encore un point fixe commun B; les coordonnées de ce point unique B seront des fonctions rationnelles des coordonnées de A|, A2, . . ., A^2, et la position de B dépendra de tous les points A; car, si elle dépendait seulement de quelques-uns d'entre eux, soit u, les adjointes considérées auraient plus d'un point fixe commun (elles en auraient autant qu^il y a de combinaisons de p — 2 lettres jx à jx). On aura donc, en désignant par (X, Y) les coordonnées de B,

P et R étant rationnelles, el jt/, yi désignant les coordonnées

de A/.

Il y a d'ailleurs évidemment réciprocité, c'esl-à-dire que Ton

aura

En considérant x^^ . . . , Xp^ comme des paramètres variables, nous avons donc une transformation birationnelle entre

(^i,ri) et (X, Y).

La courbe admettra donc une transformation birationnelle dépendant de paramètres arbitraires, ce qui est impossible d'aprrs ce que nous avons vu dans la Section précédente. L'hypothèse faite du point unique B est donc à écarter.

Supposons donc que nos adjointes passent par k points (A:> i). Les positions de ces k points ne pourront pas toutes dépendre à la fois des positions des A ; car, si Ton fait passer une adjointe par p — I points a arbitraires, on aurait, en considérant successive-

(') On n'a jamais pris, que je sache, la pctnc de faire la discassion que nous croyons indispensable d'eflectuer pour être complètement rigoureux. Il semble qu'on ait toujours admis a priori que, dans le cas où la réduction à une courbe normale d'ordre p H- i n'est pas possible, toute adjointe d'ordre m — 3 passant par un point passe nécessairement par un ou plusieurs autres. ( Voir^ par exemple, Brill et NôTHBH, Math, Annalen, t. VII, p. 286.)

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ment cette adjointe comme passant par les p — i groupes de p — 2 points formés par les a,

points distincts par lesquels elle devrait passer, ce qui est impossible, puisque A' ^ i . Les A* points se partagent donc nécessairement en groupes de k' points dépendant des positions d'un certain nombre X()v<;/; — 2) de points A. Ainsi, nous sommes amené à l'hypothèse que toutes les adjointes passant par \ points (X </> — 2) dey auraient en commun encore k' points, qui tous dépendent des X points considérés. Or envisageons encore, comme plus haut, p — I points a arbitrairement choisis et une adjointe passant par ces points, on aura, en regardant successivement cette adjointe comme passant par les groupes de X points formés par les a,

points distincts (*) par lesquels elle devra passer. En y ajoutant les /? — I points a, on devra avoir

or cette inégalité ne peut avoir lieu que si

Ces relations sont capitales pour nous. Elles montrent que, dans le cas exceptionnel dont nous faisons l'étude, toutes les adjointes d^ ordre m — 3 passant par un point passent nécessairement par un autre point, puisque à chacun des points A correspond un point dont la position dépend de ce point seulement. Le nombre désigné plus haut par k est manifestement égal à /? — 2.

14. Nous pouvons maintenant caractériser très nettement la classe de courbes pour lesquelles la réduction à une courbe de

(') Ils sont distincts, puisque les a sont arbitraires et que chaque groupe de k' points dépend de tous les X points qui le définissent.

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49^ CHAPITRE XT.

degré/? H- 1 d'après la méthode du n** 12 est impossible. Si C désigne une telle courbe, prenons, sur C, /> — 2 points fixes d'ailleurs arbitraires; toutes les adjointes passant par ces points passent par p — 2 autres points fixes d'après ce que nous venons de dire : il restera donc seulement deux points mobiles de rencontre. Soit

(16) Qi-+-XQ,= o

l'équation du faisceau considéré des adjointes. Les coordonnées x et y des points de rencontre seront données par une équation du second degré; on aura, par suite, pour x et y des expressions de la forme

ar=R [X,v/ÏMT)],

R et R| étant des fonctions rationnelles de X et de y^P(X), en désignant par P(X) un polynôme en X qu'on peut supposer n'avoir que des racines simples, après avoir fait sortir du radical les racines multiples. Les deux déterminations du radical correspondent aux deux points de rencontre de la courbe proposée/ avec le faisceau (16). Il en résulte qu'à un point arbitraire (x^ y) de f correspond une valeur de \ et de \/P(X); nous pouvons donc dire que la courbe f correspond point par point à une courbe entre \ et ^ de la forme

On donne à une telle courbe le nom de courbe hy per elliptique ; aussi la classe de courbes qui nous occupe peut-elle prendre ce nom.

15. Nous avions fait, dans le Tome I (p. 54), l'étude des intégrales abéliennes relatives à une courbe

(17) ^«=P(ar).

On a vu que les cas où P(a:) est de degré 2/? -+- 2 et 2/? 4- i se ramènent immédiatement Tun à l'autre. En supposant que P(:r) soit de degré 2/? 4- i, nous avons montré qu'il y avait p intégrales

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de première espèce pour la courbe (17); ce sont les intégrales

x^dx

/x'^'dx 7^

Nous pouvons donc dire que Ja courbe (17) est de genre p. Si nous revenons à la relation

du paragraphe précédent, nous pouvons déterminer tout de suite Je degré de P()^). La courbe f et la courbe précédente se correspondant point par point, les courbes seront du même genre, et le degré de P(X) (dont toutes les racines sont simples) sera égal à 2/> -h i ou à 2/> -I- 2.

Il est facile de vérifier, pour la courbe (17), la propriété des adjointes, dont nous avons parlé plus haut, relative aux courbes hyperelliptiques. Les courbes qui remplacent ici les adjointes d'ordre m — 3 sont \e% p — i droites représentées par l'équation

Ao^r/'-i-H.. .-h A^,i = o,

les A étant des constantes arbitraires, comme le montre la forme ci-dessus des intégrales de première espèce. Les 2/> — 2 points de rencontre mobiles d'une adjointe avec la courbe, qui jouent dans la théorie le rôle essentiel, sont les points de rencontre des p — 1 droites précédentes avec la courbe. On voit que les points se correspondent deux à deux, puisque à un point de rencontre {x^y) correspond nécessairement le point (^, — y).