HL*=P(X
de degré 2/> + i ou 2/? -h 2, que nous venons de faire correspondre uniformément à la courbe /de la classe hyperelliptique, n'est pas la courbe du plus bas degré que nous puissions indiquer. Les adjointes d'ordre m — 3 ne pouvant conduire, dans ce cas, à une transformation birationuelle, employons des adjointes d'ordre m — 2 ; ces courbes ont avec f
m-\-ip — 9,
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points de rencontre, en dehors des points multiples. Si nous les assujettissons à passer par m-\- p — 4 points pris arbitrairement sur la courbe, nous aurons un réseau à trois paramètres
(i8) «iPiCa:, j^)-ha,P,(2r,^)H-a,P3(ar,^)=o,
et les points de rencontre mobiles seront au nombre de
Posons alors
La courbe f se transformera en une courbe F, et les deux courbes se correspondront point par point. Pour établir en toute rigueur cette correspondance birationnelle entre f et F, il faut montrer que toutes les adjointes d'ordre m — a passant par m-{- p — 3 points quelconques ne passent pas par un ou plusieurs autres points.
Or cela est impossible; car prenons /? -f- 1 points arbitraires A,, Aa, .. ., A;,^.!, et faisons |)asser par ceux-ci une adjointe d'ordre m — 2; elle rencontrera la courbe en dehors de ces points et des points multiples en m ~{- p — 3 autres points, que nous désignerons par B. Si toutes les adjointes d'ordre m — 2 passant par les B passent par un ou plusieurs autres points fixes, ceux-ci devront être compris nécessairement parmi les points A, et, en prenant alors une adjointe P» (^, y) distincte de l'adjointe P(^, y) dont nous sommes parti, le quotient
n'aura pas pour pôles tous les points A, mais seulement quelquesuns d'entre eux. On aurait donc une fonction ayant moins de p 4- I pôles arbitrairement choisis, ce qui est impossible.
Le degré de la courbe F est égal à />-|- 2, puisque le réseau (18) rencontre la courbe en /? -h 2 points mobiles.
Nous n'avons pas supposé jusqu'ici, dans ce paragraphe, que la courbe fût hyperelliptique. Si nous revenons à cette hypothèse, nous obtiendrons une courbe particulièrement remarquable en pro-
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cédant de la manière suivante. On prend m — 2 des m-^ p — 4 points bases du réseau (18) en ligne droite. Parles p — 2 autres points on peut faire passer deux adjointes distinctes Q, et Q2 d'ordre m — 3, et ces courbes du réseau Qi ~h XQ2= o ont seulement deux points de rencontre mobiles avec X. Posons alors
P| (^, y) = (ax-^by-^c) Q, {x, y), Pj(^, Y)=^{ax-\-by^c) Q,(a7, y),
en désignant par ax + by -^0^=0 la droite des m — 2 points. Parmi les /> 4- 2 valeurs de (^, y) correspondant à X, deux seulement varient avec X, et les valeurs de Y correspondant aux/> autres sont infinies. Il ne correspond ainsi que deux valeurs finies de Y à une valeur arbitraire de X. Notre courbe de degré /> -+- 2 a donc un point multiple d'ordre p à l'infini. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Toute courbe de genre p hypevellip tique correspond point par point à une courbe de degré /? -I- 2 ayant un point mul^ tiple d* ordre p.
On peut d'ailleurs vérifier que, inversement, toute courbe de degré/? H- 2, avec un point multiple d'ordre p à tangentes distinctes, est de genre jD et du type hjperelliptique.
Le genre de notre courbe sera donc
pip-\-\) p(p — i)
^—^ ^—^ ou p.
Les adjointes d'ordre />4-2 — 3 ou/) — i seront ici des courbes d'ordre p — i, ayant le point multiple O d'ordre p de la courbe comme point multiple d'ordre/? — i : elles sont donc formées de p — I droites arbitraires passant par O. La courbe est hyperelliptique, car toute adjointe d'ordre p — i passant par un point A de la courbe va nécessairement passer par un autre point qui est le point (en dehors de A et O) où la droite AO rencontre la courbe.
17. Nous avons fait correspondre, avec Glebsch et Gordan, une courbe arbitraire de genre p à une courbe normale de degré /) -H I . On peut encore obtenir des courbes normales de degré moindre, comme Tont indiqué MM. Brill et Nolher dans le Mé-
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moîre que nous avons déjà plusieurs fois cilé (*). Sans entrer dans une discussion approfondie de cette question, qui ne me paraît pas d'ailleurs avoir été jamais faite complètement, indiquons au moins les considérations qui peuvent conduire à ces courbes normales de degré inférieur à /; -4- i. Nous trouverons là l'occasion d'appliquer le théorème de Riemann-Roch et le théorème de réciprocité de MM. Brill et Nolher.
Soient considérés |Ji points (jC|, j^i). . -(^pi, J^tt) sur une courbe algébrique /. Cherchons à déterminer ces points de manière qu'il leur corresponde un nombre t différent de zéro (voir § 4), c'està-dire qu'on puisse faire passer par eux 7 courbes adjointes Q linéairement indépendantes. On aura les [Ji équations
«iQi(^/o7/»)-Ha,Q,(a:/„^A)H-...-i-apQp(arA,j'/,) = o (A = f,2, ..., yi).
Ces |JL équations entre les a doivent se réduire k p — <r d'entre elles, et l'on aura, par suite, entre (X{ , ^i ). • «(^pi, ^|a), nn nombre d'équations de condition égal à
(il — p -h <J)<T,
Ces équations (E) devront être vérifiées pour que, par les [jL points que je désigne par A, on puisse faire passer des adjointes Q dépendant de t paramètres arbitraires. Prenons une de ces adjointes; elle rencontrera (en dehors des points multiples) y en [ji' autres points que nous désignerons par 6, et Ton a
JX -f- [Jl' = 2/? — 2.
Aux points B correspond un nombre t', et nous avons établi les relations, revenant d'ailleurs à une seule,
;ji — /? -h (I -f- 1 = a',
II' — /? -H a' 4- I = j.
Par les points B, on peut faire passer des adjointes Q dépendant de t' paramètres arbitraires. Ces adjointes rencontrent / en [JL points auxquels correspond le nombre primitif t. Ces jx points satisfont donc aux équations (E), et, parmi eux, il y en a d' — i
(') BiULL et NôTHBR, Math, Annalen, t. VII. Voir le n» 9 intitulé : Dca Problem der Special-Gruppen, et les paragraphes suivants.'
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FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFAGB DE RtEMANN. ^97
d^arbitraires; mais, d'autre part, le nombre des points satisfaisant aux équations (E) et restant arbitraires est au moins
Il faut donc que l'on ait l'inégalité
De cette inégalité fondamentale nous déduisons, en nous servant des relations écrites plus haut,
Un cas particulièrement intéressant est celui oà<r'=3; on aura alors
par suite,
|a>2(cr-hi),
d'où, en remplaçant o* par sa valeur en jjl et/>,
et enfin
18. Nous arrivons maintenant à la recherche des courbes normales. Pour que l'on puisse avoir cr'^ 3, la plus petite valeur que puisse prendre y. est donnée par l'inégalité précédente. En suivant la marche du paragraphe précédent, on prendra alors des points B, en nombre [jl', obtenus comme il a été dit, et par ces points passera un réseau d'adjointes
aiQiH-ajQî+ a3Q3 = o, qui auront ;jl points de rencontre mobiles avec f. En p osant
^. Qi(^.r)
on fera la transformation de f en une courbe F qui sera de degré yf.. Nous nous contenterons de dire que cette transformation
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sera birationnelle si la courbe / n'est pas spéciale; îl en est bien
certainement ainsi, mais on n^a pas approfondi Tétude des cas
exceptionnels qui pourraient se présenter.
Le point intéressant est d'avoir la plus petite valeur possible
pour jJi. Reportons-nous, à cet effet, à l'inégalité (19). On peut
avoir
/> = 3ir, 3tc-hi, 3ir-ha.
Dans les trois cas, le minimum de l'entier [jl satisfaisant à l'inégalité (19) est
p — -îr + 2.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Une courbe arbitraire de genre p correspond point par point à une courbe de degré
p — 'IZ-\-2,
en posant p = Stî, ou Stc + i , ou Stt + 2.
19. Terminons cette Section sur la transformation biration* nelle des courbes par quelques remarques. Élant donnée une courbe
et la substitution simplement rationnelle
quand {x^y) décrit la courbe /, le point (X, Y) décrit une
courbe
On voit immédiatement que le genre ^ de F est au plus égal au genre /> de /: en effet, à chaque intégrale de première espèce de F correspond une intégrale de première espèce de y, et, par suite, le nombre des intégrales de première espèce distinctes dey est au moins égal au nombre des intégrales de première espèce de F. On a donc bien
q'iP' Examinons le cas où
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On peut établir alors que la transformation est nécessairement birationnelle (*).
Considérons, en effet, les intégrales de première espèce
rF(X,Y)d\ ^^ roifiZ
»/ Fi J /y
des courbes F et /. On aura
P^(X,Y)rfX^ Q,(x,y)dx . ^ Q,(x,y)dx . . ^ qp(x,y)dx -j — «1 jj h at Tî h ...-+- ap 7:7 ,
r\ Jy Jy Jy
lésa étant des constantes, et, par suite, en supposant 9 >> i, on aura
P,(X,Y) 6,Q,(ar,^)-i-...-+-ô;,Qp(ar,j^)'
les a ei b étant des constantes. Aux points de F pour lesquels
correspondront des points pour lesquels
Si à un point arbitraire de F correspondent [l points de /, il faudra donc que
et, par suite, si /? = ^ }> i , on aura nécessairement
c'est-à-dire que la transformation est birationnelle : c'est le théorème de M. Weber.
Dans le cas où/? = 1, les choses se passent d'une manière entièrement différente. On trouvera d'importants développements sur les transformations simplement rationnelles des courbes avec des applications à la théorie des équations différentielles dans le
( » ) Ce théorème a été démontré pour la première fois par M. Weber (Journal de Borchardt, i. 76).
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5oO CEIAPITRK XY.
Mémoire de M. Painlevé sur les équations différenlielles du premier ordre ( * ).
