XXI. — Helicoide developpable
L'helicoide developpable est le lieu des tangentes a 1'helice ; nous allons trouver ses Equations. La tan gen te a 1'helice a pour Equations
X — rcoscp Y — rsincp air '
— rsincp rcoscp ~~ h
ou bien
On en tire
X = r cos
Y — r sin © -+- ( Z — © \^r- rcoscp.
h* \ arc T / (a) / Xcoscp ■+- Y sincp = r,
Xsin ? -Ycoscp = (z- — ?j^«
La /race rfe VhHicoide sur le plan des xy est une developpante de cercle; on l'obtient en effet en posant s = o dans (l), ce qui donne
( X = rcoscp -*- rep sin cp, (3) .
( Y = r sin cp — r cp cosep.
Ge sont les Equations de la developpante de cercle. II va sans dire que toutes les sections horizontales de rh^lico'ide seront egalement des d^veloppantes de cercle.
Les generatrices de I' helicoide developpable rencontrent la developpante, trace de V helicoide sur le plan des xy a angle droit.
En effet, les coefficients directeurs de la tangente a la courbe (3) sont
— r sincp -t- rep cos cp -+- rsincp, r cos cp -h r cp sin cp — rcoscp, o,
QUESTIONS DfiPBNDANT D'iNFIIUMBNT PBTITS. 4oi
OU
r<pcos<p, -+-rcpsin<p, o;
ceux de la g£n6ra trice de l'h^licoi'de
— rsin<p, rcoscp, o.
Ces deux directions satisfont bien a la condition d'orthogonalite\
Les sections de l'helicoide par des plans perpendiculaires a l'axe sont les d£veloppantes de 1'arSte de rebroussement. Done :
Les diveloppantes de Vhilice sont des diveloppantes de cercle.
Cherchons maintenant la surface polaire de I'helice
h a: = rcos<p, ^ = rsinep, z = — cp.
Le plan normal a pour Equation
(4) *sin ? -jcos?-+-^- — ?j— =o;
la droite polaire a pour Equation (4) et sa d6riv6e
(5) arcos<p -t-^siiKp — — - = o.
Si nous comparons les formules (4) et (5) avec (2), nous voyons que ces Equations (4), (5) repr£sentent un h£lico'ide dont l'arlte de rebroussement serait trade sur un cyhndre
de rayon — — et dont le pas serait A. Done :
La surface polaire d'une hilice est un hilicoide diveloppable.
