I. — Préliminaires

Une équation différenlielle esl une relation entre une ou plusieurs variables, une ou plusieurs fonctions inconnues de ces variables et leurs dérivées ou leurs difTérenliclles.

Il y a trois espèces d'équations différentielles :

!*• Les équations différentielles ordinaires, qui ont lieu entre une ou plusieurs fonctions d'une seule variable et leurs dérivées ; l'ordre d'une équation différentielle ordinaire est /?, quand elle contient des dérivées d'ordre n sans contenir de dérivées d'un ordre plus élevé.

2° Les équations aux dérivées partielles, qui ont lieu entre une ou plusieurs fonctions de plusieurs variables et leurs dérivées; l'ordre d'une équation aux dérivées partielles est n L. — Traité d'Analyse, V. i

quand olk- contient îles dérivées d'ordre n sans contenir de dérivées d'un ordre plus élevé.

3° Les équations aux différentielles totales, qui ont lieu entre uiic ou plusieurs fonctions de plusieurs variables, les dilTérentielles des variables et les difTérentielles totales des fonctions. L'ordre d'une équation aux difTérentielles totales est n quand elle contient des différentielles d'ordre n, sans en contenir d'un ordre plus élevé.

Intégrer, ou résoudre une équation différentielle, ou un svslème d'équations difTérentielles, c'est trouver la forme qu'il faut attribuer aux fonctions contenues dans cette équation ou dans ce système, pour que cette équation ou ce système d'équations se réduise à une identité ou à un système d'identités.

Nous démontrerons que les équations difTérentielles ordinaires et aux dérivées partielles admettent ordinairement des solutions, et même en général des solutions en nombre infini. Au contraire, les équations aux difTérentielles totales n'en admettent que si elles satisfont à certaines conditions.

Quoi qu'il en soit, on peut voir immédiatement que si une équation peut être ramenée à la forme

c^U désignant une différentielle exacte, elle admettra la solution unique U = const. C'est souvent en ramenant une équation à cette forme que l'on parvient à l'intégrer, c'est souvent une équation de celte forme que l'on clierche à déduire d'équations données pour en découvrir une solution (').