II. — Théorème fondamental
Soient t une variable réelle et x,\\, z, . . . un système de V fonctions inconnues de t. Si les fonctions cp, y, ^, . . .
(') Le lecteur pourra passer tout de suite au Ctiap. Il s'il voit le Calcul inlégrii! pnnr in première fois, en admettant pour le moment que toute érjualion dillcrcntieilc à une inconnue a une solution renfermant autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans son ordre.
dx
dv
dz
-dl='l-^
di -'^^
dt
de X, y, z, ..., t restent finies et continues, ainsi que leurs dérivées, quand x, y, z. . . . , t varient dans le voisinage de Xo, jKoi ^05 • • • î ^o> fc^ équations différentielles
admettront une solution telle que, pour t = t^, on aura x = Xo,y = Jo, ^ = -0, • • ■ •
La première démonstration de ce théorème a été donnée par Caiichy : elle se trouve exposée dans le Calcul différentiel et intégral de l'abbé Moigno; la seconde, fondée sur l'emploi des séries, a été également donnée par Cauchy ; elle se trouve également consignée dans l'Ouvrage cité et dans \e?, Nouveaux Exercices d'Analyse et de Physique mathématiciue.
Dans la démonstration qui va suivre, je désignerai par la
lettre H une quantité comprise entre — i et -ri, la même
lettre h pouvant désigner des quantités très difTérentes : en
d'autres termes, la notation B« représentera une quantité
comprise entre — a et -h a, en sorte que l'on aura par
exemple
a -^ Oa = 20(7.
Nous dirons que les variables x, y^z, . . . , t sont comprises dans le domaine L si i varie entre ?o — /'' et ^o + /•', et si en même temps x varie entre Xq — a et ^o H- ^, J' entre j'o — ■ h etJJ'o-H b, etc.
Enfinjnous supposerons que, les variables restant comprises dans le domaine L, les fonctions cp, '/,'!>, ... et
restent finies et continues. Posons maintenant, en appelant II
/| CnAPITUE I.
une qiianlilé 1res pclile, /, = /q + /' et
(3-1 = 370-+-/ o(xo, yo, . . ., t)dt, (I)
di.
appelons M le maximum de o pris en valeur absolue dans le domaine L, N le maximum de y, etc. ; il est clair que l'on aura
si donc h est suffisamment |)etit, a'jjy,,^,, . . . seront compris dans le domaine L. Supposons qu'il en soit ainsi et posons t., = ti'i- h et
[oro = Xi-{- ^{xi, yi, ..., t)dt,
on aura
X2 = xi->r- a/iM, /2 = JKi-i- 0/iN,
et, par suile
a"2 = 3•o-^ aOAM, ^^2 = J'o-i- sO/i N, ...;
donc, si h est assez petit, ^2, y-ii "27 • • • seront également compris dans le domaine L. En continuant ainsi, on posera enfin
l \z=Xn-\-\- / (a(.r„i, jo,-i, ...,t)dl, ' Y = y„,-H / 7(37„i, i'„i, ..., 0^^^
J'/j-I-H / X^Xa-\,yn-i, ...,0«
el l'on aura
X^a-o+nOAM, Y = jo -*- «OA N,
et, si h est suffisamment petit, X, Y, Z, . . . seront compris dans le domaine L. Il suffira évidemment pour cela que l'on ait en valeur absolue
7iOAM<a, nOAN<6, ou, en observant que nh = T — <o?
Il résulte de là que l'on peut toujours choisir T assez voisin de ?o pour que, quelque grand que soit /?, les quantités T, X, Y, ... soient contenues dans le domaine L. Ajoutons les formules (i), (2), . . ., (/i); nous aurons
On simplifiera un peu ces équations en appelant ç une fonction de t assujettie à rester égale à Xq quand t varie de to à ^), à rester égale à j'i quand t varie de ^, à ^o, - . , en appelant •/) une fonction assujettie à rester égale à y,y quand t varie de t^ a tf, à rester égale àj>^, quand t varie de ^, à ^2? • • • et alors en effet les formules (a) s'écriront
X=Xo-^ f 'f(^,r., ..., t)dt.
Cela posé, je suppose que T soit une valeur fixe de t contenue dans le domaine L : je dis qu'en faisant croître indéfiniment le nombre n les quantités X, Y, Z, ... tendront
vers des limites finies fonctions de T. En cfTet, comparons d'ahord les valeurs Çb) avec celles-ci
Xo^.Xo-J o{xo, yo, ..., t)clt,
nous aurons
t)]dt
— Xo= f [(;— ^o)?i(^o-^Of — a^Oi/o-T-Gr, — ^0, •••, 0 + ---]«^^-
Appelons alors a une quantité plus grande que la plus grande des quantités o, y, , . . , 'fi, 'fo? • • • i '/j 5 '/a? • • • ! dans le domaine L, observons ensuite que, ^ — Xf^ étant une des quantités, Xi — Xq est de la forme ///OM ou n/iOM ou même n/iO[ji. ; la formule précédente deviendra
X — X"=: f wn/if)'y-cn = {T — to)ni/iOix^
^ In
ou encore, en observant que nli ^ T — t^,
X — \o = Ov-x2(T - tof, Y - Y» = Ov|jl2(T - fo)^
Ces formules nous font connaître les différences qui existent entre les valeurs de X, Y, . . ., calculées en subdivisant et sans subdiviser l'intervalle T — t^.
Partageons maintenant l'intervalle T — t^ en n- parties égales, en partageant en n parties égales les intervalles tt — to, t-, — t,, .... T — t,t t et appelons X-, Y^, Z-, ... les valeurs de X, Y, Z, ... correspondant à ce mode de division : la différence entre X etX- sera une somme de n quantités de
la forme Ovii.'- ( j ; elle sera donc elle-même de la forme
(T — /(,)-. Partageons l'intervalle T — ^0 en n^ parties
égales, en subdivisant en n parties égales chacun des nouveaux
intervalles, et appelons X^, Y-', L^ . ... les nouvelles valeurs de X, Y. Z, . . . , la différence entre X- etX^ sera de la forme
— j- (T — ^o)'> et ainsi de suite ; on a donc
