XV. — Théorème d'Hamilton
Cherchons la variation de l'intégrale e= f V dt,
dans laquelle V représente une fonction de x^, x^, .... x„,
de leurs dérivées relatives à t, à savoir x\ , x'^ /:„ et de /,
nous aurons
ou, en appliquant l'intégration par parties,
^ ' j ^dx' J^ ^\ôx dt dx' 1
Il résulte de là que, pour que Ion ait 00 =^o, il faut que l'on ait
V'/^V d dY\^ ' ^^\ôx dt ôx /
et si les variables x ne sont liées par aucune équation de
condition
/ dV d d\
\ dxi dt c)x\
(3) I dV d d\
I dx2 dt dx^ '
La formule (i) montre que, si les ox sont nuls aux. limites et que si les formules (2) ont lieu, on aura ôO = o. Cette remarque fournit un exemple curieux de changement de variables.
Supposons que, dans l'équation (2), on veuille substituer aux variables x,, x^, ■ ■ ■ . x,i d'autres variables en nombre égal ou différent jK),J'25 • • yfi, bées ou non par des équa-
VARIATIO.NS DES INTÉGRALES SIMPLES. SqS
lions de condition : V deviendra fonction des j', et l'on aura toujours 00 =.o si l'on suppose les ov nuls aux limites. Or la formule (i) est alors remplacée par
Si l'on veut que 60 = o, en supposant les o^' nuls aux limites, on voit que l'on aura
2d\df dt dy)^-^
c'est la transformée de l'équation (2). Or on peut toujours faire en sorte que les nouvelles variables j' ne soient pas liées entre elles par des équations de condition : parmi les moyens d'arriver à ces résultats, on peut prendre pour variables y, n — A" des variables x, k désignant le nombre des relations qui lient les j;, les autres variables devront alors être exprimées à l'aide de celles-ci au moven des équations de condition. 11 résulte de là que l'on pourra toujours remplacer la condition (2) par des équations telles que
d\ d àX dyi dt dy
Supposons maintenant qu'il n'existe aucune relation entre les variables x et que l'on définisse ces fonctions de l au moyen des équations différentielles du second ordre (3). Supposons enfin, ce qui est permis, que la caractéristique 0 représente une différentielle totale prise par rapport aux constantes en nombre in amenées par l'intégration des équations (3), l'équation (i) deviendra
l'indice o placé en baut d'une lettre indiquant que l'on y
SgB CHAPITRE vm.
suppose /= /o- Celte équation donne
1 de
\ àxi "
(4) ' ^^' de
d\ dx\ d\
de d\
dx, ~ dx'^ ' de dW
àxl "
dr'.l dx'.^
On a d'ailleurs
de dt "
de
TT - - — ' w '
mais on a
de
dt
de
dt
^^de ,
de
dto
de
" dt^
c'est-à-dire, en vertu de (4) et (5),
. . de ^ de ,
Si l'on remplace dans ces équations ;r'et x'^ par leurs valeurs tirées de (4) en fonction des v t-'t fies -—-, on aura deux équa-
^ ' dx d.r-o '
lions aux dérivées partielles auxquelles satisfera la fonclion 0.
Tel est le théorème d'Hamilton. Si l'on connaissait la fonction 0, on voit que les équations (4) seraient les intégrales des équations (3), puisqu'elles sont n relations entre les X, les x', t, et a/i constantes arbitraires x°, x^, . . . , x'^, x'°, .... Il y a donc grand intérêt à connaître cette fonction; mais on ne voit pas très bien comment on jiourrait la calculer.
Jacobi a montré que, pour avoir les intégrales des équations (3), il n'était pas nécessaire d'avoir la fonction 0 elle-même, mais seulement une solution quelconque de l'équation (6)
de ,, xTï de
VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. SqJ
OÙ x' est lire des équations de la forme
dx dx'
pourvu que cette solution 0 renferme n constantes arbitraires a,, a^. .... a„. Les intégrales de (3) sont alors
|3,, ^2, • • • désignant n nouvelles constantes arbitraires.
Pour démontrer ce théorème, nous déduirons les équations (3) de (8) par l'élimination des a et des p, en nous appuyant sur ce que 0 est solution de (6). On a
' oe
\ àxi
dY dx\
de
dxi
dM dx\
j de
de
de dt
de
~ dt '
v^ de dx
~ 2d~dx 'di
et, en vertu de (6),
y^ de , ^de
~ ^àx '^ ^dx
dt ^^ dx .^ dx dt
et, en différentianl par rapport aux a avec la caractéristique o,
^de v^ ()v ^ 'v ^v ^ , -s^de ^ ,
j^ dx ^ dx' ^^
dt j^ dx ^^ dx' ^1^ dx
dt ' dx c'est-à-dire, en vertu de (8),
-^ de r^ dx ■^ i-^ de -^ dx ^ de ^ Zà^^ ~di ~ ^^ ^ 'dx' 2^~^ '
V^ dM ^ ^^ dY ^dx V7 / , dx\^ dY
(9) '-.-2^Tx'''-Zà-dx'''-dt-2A\'-irtY-d^''^
. de
dt
d'un autre côté, on a
de ^ V^ ^ > d-x
ou, en vertu de (8),
dY
SgS CIlAI'llliE VMI.
et, par suilc,
dt ^ r>j7' dt ^
dt dx' Retranchant cette formule de (9), on a
, /0\ d d\ \ v^ / , dx\^ ON
Aaà \ Ox dt dx I ^
dt / Ox '
mais, les oa et les ô[3 étant arbitraires, il en est de même des
ox et des 0 — ; on doit donc avoir Ox'
dS
d OY
dx
dx
dt Ox' ~ "'
ce qui montre que les équations (3) sont des conséquences de (8), en d'autres termes, que (8) sont les intégrales de (3). Nous verrons qu'il y a des cas dans lesquels il est plus simple de deviner une solution de (6) que d'intégrer les équations (3).
