XIV. — Résolution de quelques problèmes

La difficulté capitale du calcul des variations réside dans l'intégration des équations auxquelles on est conduit dans toutes les questions de maximum que l'on veut résoudre. Toutefois, même dans le cas où l'on ne sait pas intégrer les équations auxquelles on est conduit, le calcul des varia-

Sgi ciiAriiKE VIII.

lions peut fournir des indications utiles. Considérons, par exemple, la question suivante :

Problïî.me. — Trouver sur une surface donnée la ligne de longueur donnée qui renferme une aire niaxima.

Soit

(i) fix, V, z) = o

l'équation de la surface donnée; soient /?:= -r^, ^ = t-- La quantité à rendre maxima est

et l'on pourra intégrer une fois, puisque ^, /?, q sont des fonctions données par (i) de x et y. Soit donc

il faut rendre

J.d.r^J.'i£ds

maximum, sachant que le périmètre de la courbe le long de laquelle l'intégrale précédente est prise est donné. Si l'on prend l'arc s de cette courbe pour variable, on sera conduit à égaler à zéro la variation de l'intégrale

V = I [vx'-i- X(y2„y2-4 -'2__i^ !J-/|'/*%

les accents désignant des dérivées relatives à s cl A, ijl des constantes à déterminer par la condition que le périmètre de la courbe cherchée ait une longueur donnée. On a

-)-(jl(-~ oj'-t-^o/-»--T^ocj -h7.1{x'ox'-hyoy-\-z'^z')\ ds

VA lu AT 10. NS DES INTÉGRALES SIMPLES. SgS

OU bien

J l àr ' dr !

On doit poser, en observant que — - = y i H-/>- + çr-,

àf ^ „

az

Ce sont les équations du problème, en général impossibles à intégrer, mais on peut trouver une propriété remarquable de la courbe qu'elles représentent. Prenons en effet pour plan des xy le plan tangent en .r, j-, z^ pour axe des x la tangente à la courbe, les équations précédentes deviendront

) f ar' = o, x' — iLy" o, u. ^ a/. c" = o.

-^ ' dz

Or, en appelant to l'angle que la normale principale fait avec l'axe des y, c'est-à-dire avec le plan tangent, et p le rayon de courbure, on a

py — cosu)

et, en observant que j:'= i, la seconde des formules précédentes donnera

COSW I

— — = const.;

? ik

il en résulte que la courbe cherchée est telle que la projection de sa courbure sur le plan tangent ou, comme l'on dit, que sa courbure tangentielle est constante. Cette courbe a quelquefois reçu le nom de cercle géodésique de la surface; nous la retrouverons dans un autre Chapitre où ce nom de cercle géodésique sera justifié.

Sg^ rii.vpiTUK viii.