XVII. — Réduction à la forme canonique
C'est Lagrange qui a fait connaître les équations du mouvement avec les coordonnées q quelconques [Mécanique analytique). Hamilton passe pour les avoir mises sous la forme dite canonique (en i834, Transactions philosophiques). Mais Cauchy avait déjà fait usage de cette forme canonique en i83i, dans un Mémoire très rare publié à Turin.
Reprenons l'expression
àS d^à\ , dxj ,
dxi dx Ox'i dx '
qui se rencontre dans les questions de Dynamique et dans un grand nombre de questions relatives au calcul des variations : supposons la fonction V homogène et de degré m par rapport aux x'/ ; on aura
mV = > Xi — r.
on en lire
cl, en différentiant avec la caractéristique 0,
4oO CHAPITRE VIII.
OU
Celte formule montre que, si l'on prend pour variables indéaura
pendantes ^,, ^2, •' ^« et--r =/?,,-— =/?2, on
rfa?{- ~ m — I (^^, ' c^/>,- ~ /?i — I ' m — i dx ' on aura donc
dxi~ dx dx'i ~ ~^ dxi dx ' //i — i ^j7 (//>:
Des équations de la forme
dV ^ ()y ^ ■ ^'j'
c'a;,- c^a; dar',- dj^/ ' ' dx
où U n'est pas fonction des x], pourront donc se mettre, en
posant
— fm — i)V^ U = 11,
sous la forme suivante, dite canonique,
ôH dp,- dU dxi dxi dx dpi dx
et que nous étudierons spécialement dans un autre Chapitre.
XVIII. Règle pour distinguer les maxima et les minima. Théorèmes préliminaires.
Théokème I. — Si y est une solution de L'équation dij/'érentielle
0) Aoy -^(A,y,-t-...+ ^(A„y«,^o,
dans Laquelle Aq, A désignent des fonctions données
de x^y et de ses dérivées successives y\ y" ^ . . . , l'expression
sera une dérivée exacte, quel que soit u, et son intégrale sera de la forme
B,, Bo, . , . désignant des fonctions de x indépendantes de u.
Ce théorème de Jacobi peut servir, comme on voit, à trouver une seconde intégrale de (i), quand on en connaît déjà une; il a été démontré comme il suit par M. Heino {Journal de Crelle, t. o4).
Posons
(2) ■aZ = Cx{u'^ydT,
A désignant une fonction de x invariable de forme, et supposons u et ses dérivées invariables aux limites de l'intégrale : nous aurons, en différentiant avec la caractéristique o,
oZ = / \ii" Iwulx et, en intégrant par parties,
/fin
Posons alors if = / k ou / = -» et nous aurons
(3) lZ = ±JyU-^^(^\un)dT.
Posons maintenant u = ty dans l'équation (2) : nous aurons
■iZ= Ç\[(ty)"YcLr= j \((y'^ -^ nt'y^-^-^ . . .-r- t"y)^dx. L. — Trai.'c d'Analyse, V. afi
402 CIIAPITIIK VIII.
Intégrons par parties; si l'on intègre un terme de la forme AtPyf, il est clair que l'on pourra le ramener à la forme
I C(iP)-dx,
en sorte que l'on pourra écrire
aZ = f[ C„ r- - C, /'2 -^-. . . - CJ t" )-2 1 d.r,
et, en difTéren liant,
La comparaison de cette formule avec (o) montre que l'on peut écrire, en supjirimant le signe ± qui est inutile,
faisons dans celte formule successivement A = Ao, A,
et ajoutons les résultats : nous aurons
r '• 1 .T .-1 • 'j- . .A d" u" p, I d" u'' L icientilication donne immédiatement r A,, — ; — = 13,, — -
OU B« = A„y'- : d'ailleurs t est égal à ; si donc on lait it =r )', on a
donc Bu est nul si y satisfait à (i) et le théorème se trouve démontré. Lebesgue a démontré ce théorème différemment (t. VI du Journal de Lio mille, i"^ série); Delaunaj également, dans le même Volume.
VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. ^oS
Théorème II. — La variation seconde de V intégrale (4) u=fvdx,
dans laquelle F désigne une fonction de x,j-, y' = -j- , • • • ,
y étant une fonction invariable, ainsi que ses dérivées, aux limites de l'intégrale, a pour expression
r>«=Jy-./.r[A,aj^^(A,o/)-...^^(A„or')],
A,, Ao. ... désignant des expressions indépendantes de oy, oy\ . . : d'ailleurs
La démonslralion suivante est encore de M. Heine. On a d'abord
faisons niaintenanl varier une seconde fois celle formule, mais avec une aulre caractéristique o' relative à de nouveaux paramètres supposés contenus dans j'; nous aurons
, 0,/ =J 2^ jp^p ( or 0 y' ^ 0 y oyJ)dx.
Considérons un terme du second membre
fdA ,^^,. >, ^ . , {■i) J -^^^ (or'o yJ^ 0 y'r.yJ)dT;
l'intégration par parties permettra de le ramener à la fornie
rd\ ,^.^,. .,.>., / ~T- ( V' 'j JK-' -f- 0 y' fjyJ )dx
— 1 kioy'^i oyJ ■+■ o'v'-' ' lyj)dx -t- / A(o)' o'}V+-i -t- o'j/r^jy n )dx et, par conséquent, à des termes d<i la forme (5) dans lesquels
4o4 CHAPITRE VIII.
on pourra supposer i=j ou /^y'-hi; Jans ces derniers cas, on voit que
J\{?.y?:yi^^-^r;y>?,yi^y)dx=J\ ^ {r.yir,'yi)dx
etj par conséquent, oo' u se ramène à la forme
0 o' « = r( A 0 07 o> - A , oj^' 0 j ' -r- . . . i^ A „ V" ^^'7" ) f^-^. ou
(6) oo«=j[Ao^.'+^.A,or')-....-.^(A„ox")]o>^.
D'un autre côté, on peut mettre o'« sous la forme
o'« = / ilo'yclj-,
Ù ne contenant plus o'y, et d'ailleurs
est l'équation différentielle qui fournit le maximum ou le minimum. En différentiant avec la earaclérislique 0, on a
?. r/u= J{ 5i> O'y ^ O r: ?yy ) dx
ou, en supposant Ù = o,
oo'« = / r,iî?j'yd.C;
comparant cette formule avec (G), on en déduit
(7) 8ll = Aoo;^-l-^(A.o>.'j-^...-^-^(A„o;'").
Or on a
oa = / Lldxoy,
V Ain AT IONS DES I > T r. (i U A I. F. S SIMPLES. ^O.")
eL, comme Q = o,
ou, en vertu de (7).
(8) o^» = /''[A„oj-^fA,or')-....-^(A„îj-,]ojc/r;
d'ailleurs, il est clair que
