XVIII. — Application des théorèmes précédents
Conservons les notations du paragraphe précédent et proposons-nous de voir si la valeur de j^ tirée de l'équation Q = o rend l'intégrale u, dans laquelle les limites sont fixes, maximum ou minimum; à cet effet, il faudra calculer o-u et voir si la valeur de r tirée de Q = 0 rend o-u toujours négatif ou toujours positif; nous prendrons o^ii sous la forme (8) que nous venons de calculer, et nous allons lui faire subir quelques transformations destinées à mettre son signe en évidence.
Soit ùy = ç une solution de l'équation oO = o ; posons
nous aurons, au lieu de (8),
o^a=y".o'v[A„or-...^^(A„e;'«)]^et, en vertu du théorème I,
Dans cette nouvelle expression de o^u la quantité placée sous le signe / a la même forme que dans l'ancienne, mais
4o6 CHAPITRE VI II.
elle contient un terme de moins. Quand on connaîtra une intégrale deB, o'y -h . . . + . ^^^ (^B,io'y") = o, on la simplifiera encore et on la ramènera à la forme
et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à une expression telle que
(10) l'^lt ^ i V al'^ydx.
Or on a (p. 4o5)
d'où l'on tire
et, finalement,
J {ày"f K^ désignant un carré parfait. Pour que l'intégrale a soit
maxima ou minima, il faudra donc que r conserve toujours
le même signe : car, Kétantarbitraire, si-- pouvait changer
de signe, on pourrait faire en sorte, en choisissant convenablement K, que t»'- u prenne un signe arbitraire.
Si les limites de l'intégrale u étaient variables, après avoir déterminé jK au moyen de l'équation Q = o,il laudrait déterminer les constantes contenues dans l'expression de^' par la méthode ordinaire des maxima.
Un mot encore avant de terminer : il reste à montrer comment on peut intégrer les équations
(11) ot> = o, ou Aooj'-f- — (Aïoy) -r-. . . = o,
(12) ij,.:y^^^^H,8y)-i-... = o,
VARIATIONS DES INTÉGRALES SIMPLES. 4o7
L'équation Q :^ o a pour solution une expression )- de la forme
a, b,Cj . . . désignant des constantes arbitraires ; Q -f- oQ = c> sera satisfaite en prenant l'inconnue égale ày-t- o/, et oQ = o en prenant pour inconnue o/", ou
Oa Ob
8a, ùbi - . . désignant des fonctions arbitraires que l'on peut aussi désigner par a, [3, .... Ainsi l'équation (i i) peut être intégrée sans difficulté. Pour intégrer l'équation (12), on
remarque que, si oy satisfait à (11), oy' ou -^ rend constant le
premier membre de (12); mais on peut prendre
a', j3', . . . désignant de nouvelles constantes que l'on déterminera de manière que la constante à laquelle est égal le premier membre de (12) soit nulle, et ainsi de suite.
C'est Legendre [(1786), Mémoires de V Académie des Sciences^ qui a indiqué, pour la première fois, une méthode pour distinguer les maxima et les minima des intégrales définies. Lagrange est revenu sur cette question dans ses Fonctions analyticiues. Jacobi a donné ensuite (t. 111 du Journal de Liouville, i''^ série) la méthode que nous avons exposée. L'analyse de Jacobi a été ensuite perfectionnée par Delaunaj [Journal de Liou^^ille, t. VI, i"' série) et par Hesse (Jour/ial de Crelle, t. oi).
Le Calcul des variations a pris naissance en iGqG à propos du problème de la brachislochrone ou courbe de plus vite descente, posé par Jean Bernoulli dans les Acta eruditorum, et en 169-, à propos du fameux problème des isopérimètrcs
4o8 eu A ri TUE VIII.
{Journal des Savants), qui fut l'occasion d'une longue polémique entre Jean et Jacques Bernoulli. Plus lard, Euler fit connaître une méthode générale pour la recherche du maximum des intégrales dans un Ouvrage intitulé : Methodus inveniendi lineas cm vas niaximi niininiive proprietate gaudentes. Mais c'est à Lagrange que l'on doit la notation et la méthode qu'on emploie aujourd'hui, méthode qu'Euler a appelée Calcul desvarialions. [J^oir deuxMémoires d'Euler, t. X des Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg, l'yGG. — Les Œuvres de Lagrange, t. I et II. — Les A^ouveaux Exercices de Mathématiques de Cauchy, t. III. — Sarkvs, Recherches sur le Calcul des variations (Savants étrangers, t. X, 1848).] Parmi les Traités imprimés sur le Calcul des variations en français, nous citerons celui de MM. Lindelof et Moigno, publié chez Gauthier-Villars.
EXERCICES ET NOTES
1. Trouver la Hgne la plus courte que l'on puisse tracer entre deux points sur une surface développable. On montrera que la solution se ramène aux quadratures.
N.-B. On trouvera de nombreux développements sur les lignes géodésiques dans le 7^ Volume.
2. Trouver une courbe plane de longueur donnée passant j)ar deux points fixes, et qui, par sa révolution autour d'une droite donnée située dans son plan, engendre une surface minimum.
3. Si/? est différent de un, et si u est une fonction dej)'i,j>'2) • • --yiiy
, dyi dyi dy„ , , , , ,
et de -• - > -^ ) • • • ? -V- 5 homogène et de degré p par rapport a ces
dérivées, l'intégrale / u dx est maxima ou minima quand u est constant.
4. Paruii toutes les courbes de courbure constante que l'on peut faire passer par deux points, quelle est la plus courte?
VAKIATIONS DES IMÉGRALES SIMPLES. 4o9
5. Parmi les courbes planes qui, tournant autour de l'axe des a:, et qui, passant par deux points fixes, engendrent une surface de révolution d'aire donnée, trouver celle pour laquelle le trapèze limité par les ordonnées de ses extrémités et par l'axe des x engendre le volume maximum.
6. Étant donnée une surface S et une courbe G tracée sur cette surface, faire passer, par deux points A et B de cette courbe, une autre courbe tracée sur la surface, telle que l'aire comprise entre cette courbe et G ait une valeur maxima. (La courbe cliercliée jouit de cette propriété que la projection de son rayon de courbure sur le plan tangent à S est constante.)
7. Trouver sur une surface le plus court cbemin d'un point à un autre, en rencontrant une courbe donnée tracée sur la surface. (Montrer que le chemin demandé est une géodésique qui se brise sur la courbe donnée en faisant des angles égaux avec cette courbe.)
8. De toutes les courbes planes passant par deux points donnés, trouver celle dont le moment d'inertie relatif à l'axe des x est minimum. (On achève la solution au moyen des fonctions elliptiques.)
