I. — Préliminaires
On appelle équations linéaires les éqiialions de la forme
ou, en posant, poiiraljreger, -j^. =y',
Xo7« -i- X, j«-i ~ . . . -t- X„ j = p,
dans lesquelles X„, X„,, ..., Xo, P sont des fonctions quelconques de x', P est ce que l'on appelle le second membre de l'équation.
Nous étudierons tout d'abord les propriétés des équations sans second membre : nous allons voir en cflet que, ijuand on a intégré une écpiation privée de son second membre, il suffit d'ajouter à l'intégrale trouvée une solution de l'équation avec second membre pouroblenir la solution générale de cette équation. Nous verrons dans la suite comment on peut toujours déduire de l'intégrale de l'équation privée de son second membre une solution de l'équation avec second membre, et cela au moyen des quadratures.
Soit u la solution générale de l'écpiation
An -y- 1- Al —, r -j- . . . -y- A„ 1 = O,
(|ui n'esl autre rjuc (i), dans hicpielle on a remplacé P par
zéro; on aura itlentiquement
Soit aloi's z une solution de J'équation (i) : on aura
si alors on fait r = u + z, l'équation ( i) deviendra
/ rJ" Il \ ' ri" -
et sera identiquement satisfaite en vertu de (2") et (3). Or a renferme n constantes arbitraires, puisque c'est la solution générale de (2); donc u -f- z^ renfermant ces constantes aussi, est la solution générale de (i): donc :
THitonÉAiE. — Pour obtenir la solution générale d'une équation linéaire, il suffit d'ajouter à la solution générale de cette équation privée de second membre une solution particulière de Véciuation proposée elle-même.
II. — Forme de l'intégrale générale d'une équation linéaire sans second membre.
Théorème I. — Si y^ est une solution de l'équation
^ ' " dx"- dx»--^
que nous écrirons aussi
(I) Xo7«-X,7«-i--...-v-X„r = o.
dans laquelle Xq, X, , . . . , X„ désignent des fonctions quelconques de X, et, si c, désigne une constante arbitraire, C) j'i sera encore une solution de la même équation.
En eflet, puisque j)-, est solution de ré(|ualion (i i, on aura
Xoy'i - ^irV • -^ . . . - x« j. - o
ii8 ciiAi'iTiu: III.
et, par suite aussi, en niullipliant par C|,
XoCi7^'-î-XiCij','-i-H...~X„c,7i = o,
ce ([ui exprime queci l'i esL une solution de l'équation (i).
Théorème II. — En général, si l'on désigne par y^,
y». . . . , yi des solutions de l'équation {i) et par Ct,C2
a des constantes arbitraires, l'expression
Ciyi^Ciyi^...— Ciyi
sera encore une solution de la même équation.
En effet, si l'on remplace dans l'équation ( i ) Ja fonction y C1J1-HO272 — •••-^c/Jn
par
on trouve
■ -^ Ciy'l )
Ciri
— X„(CiJ»-, -r- C2J2 -:-...— ayi
c'est-à-dire
c.CXoj?-^ X,7'/-' ^- • ■- X„j, I c,(Xoj?-X,7r'-i-...^X„j2)
()vyi^ y.,, ■ . . étant solutions de ( ii, les coelficicnls de c,, Ci, • . •, Ci sont nuls : l'équation (i ) est donc satisfaite pour y = c,yt-i- c.2y-2 -h . . ■ -r c/ 17. c. q. f. n.
Avant d'aller plus loin, nous établirons la proposition suivante, dont nous ferons un fréquent usage.
Théorème III. — Si entre les fonctions ii, y-^ • • • ? J'« de X et leurs déri^'écs, il existe une relation de la forme
ii-i ^,'i-\
yn
on aura identiqucmenl
«1, rto' • • • 1 ^hi désignant des constantes.
En cfl'el, la formule (i) ayant lieu, il existe des quantités >.,, X.y-i ■ • • 5 '*'« qi" "6 sont pas toutes nulles et telles que
si l'on différentie ces équations, en combinant chaque équation dérivée avec celle qui la suit, par soustraction, on trouve
Des équations (2) et 1 3) on tire
Al Ao A„
et de ces dernières on conclut
Â-Ày— X})-/ = o; divisant par l'j et inté^a-ant, on a
— = const.;
appelant alors «,, «o- • • •' cin <^6s constantes, on peut poser
),,=:«,/•, À2=a2/', ..., lu — an/',
d'où l'on conclut, en vertu de (■'.),
«lj'l-^«2j'2-^- ••-^-««7/» — o. C. 0. F- D.
Si y if y-,- . • • . )'« sont des intégrales d'une équation difTérentielle linéaire d'ordre n ne satisfaisant pas à l'identité (1),
120 CHAPITRE m.
ou, ce qui revient au même, telles qu'il n'existe pas entre elles de relation linéaire et homogène à coefficients constants, nous dirons que ces intégrales forment un système d"inl<''grales dislinctcs. (Les Allemands disent un système fondamental.)
TnÉonÈME IV. — Soient y t, jo- • ■ ■■ Vn (les inté fi raies distinctes de l'équation linéaire sans second membre
Ci, C2, . . . , Cn des constantes arbitraires;
sera l'intégrale générale de celte équation.
En effet, ce sera une intégrale, d'après ce que nous avons yu ; en second lieu, celte intégrale renfermant n constantes arbitraires sera l'intégrale générale, pourvu que les constantes C|, C2, - . ., Ca soient distinctes, c'est-à-dire (p. 1 1) pourvu
qu'on puisse les choisir de telle sorte que )-, y' ^-«-1
puissent être pris égaux à des nombres donnés pour une valeur donnée Xq de x'. or, si l'on observe que
y = C,7, -,- C, T-o -^ . . . — C„Yny' ^ C, j', ^ C.y\ --...-- Cny'a,
On voit que l'on pe pourra disposer de C| , Co, . •■ . Cn de ntanière à faire prendre « j^, j)^', ) ', . . . des valeurs données, que
si le déterminant Nriiy,, y.^. . . . ,y"~' est dilTérent de zéro,
c'est-à-dire que sij)/,,jK2? • • ■ • ,'« forment un système d'intégrales distinctes.
Remarque. — Si Ton pose
«2 = «21. ri — a.iVi -I- . . . -- a.,,, r„.
DES t Q L" A T I O >■ S L I N É A I It F. S . 121
les fonctions ?/,, u-,. .... ii,n dans lesquelles on suppose les a constants, foi'meront un système d'intégrales distinctes si le
déterminant \±: a,,, 7.00, .... a,,,, n'est pas nul, car on a
