III. — Abaissement des équations linéaires

Abaisser une équation diflcrcntielle, c'est trouver une équation d'ordre moindre, dont l'intégration entraînerait celle de l'équation proposée. C'est, si l'on veut, trouver une équation d ordre moindre, telle que les intégrales de l'équation proposée se déduisent de celles de la nouvelle équation par des opérations relativement simples.

Nous allons nous occuper de l'abaissement des équations linéaires. Pour cela, nous aurons besoin du théorème suivant :

Théorème I. — L'expression

dans laquelle Xo, X,, .... X,, désignent des fonctions de la variable X ; y une fonction de cettevariableet y' ,y' , . . . JK"~' 1 j'« Iqs dérivées de y relatives à x, peut se représenter par la notation Yi y\ Si l'on pose alors

F'(jK) = nXo j"-' — ( rt — \)\iy"-- — . . . — \n-\y.

p«-i(j^, = 2.3. . . nXo^' — 1 .2.3. . . ( n — ijXj jK, F'»(7) = i.2.3.../jXoJ,

on a identiquement, en remplaçant, dans F(j'), y paryz,

F(yz) = zF(r)-^-F'(f)-^...^--^-—~^Fn(y).

122 m Al' Il ri: m.

Celle proposilion se vérifie en observant c[uc

d'^izv) n , , n(n — i ) .,

dx'<- '' \ -^ I . •;! ' -^

nous appellerons dorénavanl F'(j^j, F"(j^), ... les dérivées symbuliqucs de F(j^).

Avanl d'appliquer celle formule à l'abaissenienl des équations linéaires, nous ferons observer que l'équalion linéaire F(jKj = o> si l'on \ change y en z•y^ , devient

(,) L4ZlL^«^ ^^ZlL 5«-i^....-F(j,! = o;

si alors on choisit^) de telle sorte que

F«-'(j,i = o ou rtXojt'i -T-Xij)-, =o,

d'où l'on tire

JKi = e .' ^0 ,

l'équation (i) ne contiendra plus de terme en z"'^\ si l'on peut alors intégrer celle équation, on aura

y ^ze -^ ^0 ,

et l'écpiation ¥ \y) = o sera elle-même intégrée.

Théorème II. — Lorsque Von connaît une intégrale d'une équation différenlielle linéaire sans second menihi'e, on peut abaisser son ordre d' une unité.

Considérons en elfet l'équation

(1) F(7j = o ou X„7"-i-X,7"-'-f-...^X„j = o,

où X,,, X,. ... sont (onctions de x et où )', }-'', . ., v" sont

les dérivées successives de la fonction inconnue j^ de x. Soit y une intégrale de cette équation : posons

l'équation (i) deviendra

.,; ^Jjl^ .-.-■F--.(.r,) ^...^,F(K„ = 0.

ou, comme F(y,)^o, puisque y, est solution de F^'y) = o, -^^ •■ -^^ ;- . . . -r- ^ F ( y i) = o.

Si alors on pose

z' = u ou -- — / "^■'"i

Téquation précédente deviendra

et ne sera plus que de l'ordre n — ■ i; enfin on aura

y=yiz ou y =j, j udx;

l'intégration de F(j'^ est donc ramenée à l'intégration d'une équation linéaire d'ordre moindre.

Remarque. — Si l'on avait F'(j^,y =o, ¥"{yi =o, . . . , F'(yii=o, on pourrait évidemment abaisser l'équation de i H- 1 unités en posant z = f f . . iulx'; d'ailleurs l'équation (2 ) admettrait les solutions z ^= x, z ^ x-, ...,;; = x' et par suite ré<[uatioii proposée admettrait les solutions

THÉouJiMi: III. — ■ Lorsque l'on connaît i .solutions de l'équation '^{y) = o, entre lesquelles il n'existe pas de relation linéaire à coefficients constants, on peut abaisser l'ordre de cette équation de i unités.

12^ CHAPITItE Ml.

En eflTct, soient ri, J)'2, • • • > J7 t'es solutions de F(y) ^ o; on abaissera l'équation F(j>^) = o, en posanl y ^^ yt f udx. Soit F„) ( u) = o l'tMjiialion en f^ d'ordre n — i : on tire de la relation

dx yj

y==yf j udx la suivante et par conséquent

dx yi

est une solution de F/,i (m) := o; on abaissera cette équalion en posant

u = Ui I i'dx

d II d 1 d y dx ui dx uj dx 7'i

d I d Vs

sera une solution de l'équation en ç que l'on pourra abaisser à son tour, et ainsi de suite; mais ceci exige qu'aucune des quanlilés j'( , ;/|,r,, ... ne soit nulle. Or j-, n'est pas nul;

si ?/, était nul, — en vertu de (0 serait constant et il existe-

rait entre y^ el yo une équation linéaire et homogène à coefficients constants. Si ^t était nul, en vertu de (a) on aurait

I d rs

— ■— = const. = a,

ui dx yi

dx yi et

— = a I iiidx — a r- o,

6 désignant une constante : par suite, J>'3 ^ (lyz -i- byx

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. l'iS

et il y aurait une relation linéaire et homogène entre j'i,

r2,yi

ThéorIîmk TV. — Supposons que Von connaisse une intégrale y, de F(j^ ) =z o, et qu'en posant y =yi f udx on la transforme en ¥,i,(u i = o, que l'on connaisse une intégrale Us deF,i i («)i=o, et qu'en posant u = u^fvdx on la transforme en F„2(c^ ) =zo et ainsi de suite, on aura

y ^yifiiidxfi'idxfwidx. . . ., en sorte que

7i, yifuidx, yifuidxfi^idr, ...

seront des intégrales de F(^) = o : toutes ces intégrales sont distinctes si y s, u^, f) . ... ne sont pas nuls.

La démonstration se fait comme la précédente : appelons yiiy-ity-.)-, • • • les intégrales précédentes; si entre j', etj^o i^ y avait une relation homogène à coefficients constants en vertu de (i), «) serait nul; de même, si l'on avait, a, h désignant des constantes, j'3 = ay.2 -h hys, en vertu de (2) on aurait v^ ^=0, ....

IV. — Relations entre les coefficients d'une équation linéaire et ses intégrales distinctes.

Quand on se donne un système d'intégrales distinctes d'une équation linéaire, on forme immédiatement son intégrale générale et par suite l'équation elle-même; ainsi, quand on donne un svstème d'intégrales distinctes, l'équation est déterminée; il doit donc exister des relations entre les coefficients et les intégrales en question : nous allons les faire connaître.

Théorème I. — Les coefficients de l'équation linéaire

(1) Xo-r^-i-Xi-j — ^ -i-...-î-X„ y = o

126 CHAPITRE m.

peuvent s'exprimer an moyen de n intégrales distinctes j-, ,

En cfTel, rinlcgrale générale est donnée par la formule

C), Co, . . ., c,i désignant des conslanles; réliminalion de ces constanles (p. 12) entre cette équation et ses dérivées

y = ciji — C2J2

^nj'ni

y" ^-- cij'i— C27? -r-. . .^ c„.;)-;î, doit fournir l'équation (1). Or la résultante est

rtl v'* !■'*

7" 7Ï r-i ••■ 7« 1 Celte équation devant être identiqucà (i), que Ton peut écrire

Xo7«^ Xij«-' + . . .- X„ r - o,

r)e yr d<d d<è

On voit en particulier que, si l'on pose

on aura

yi y".

7i • • • y II y\ ■■■ y'n

yn y II

Ojrll-l'

or on lire précisément des équations (3)

on en déduit et. par suite,

Xi OS . à& I d}.

,, dx = \o"\

Cette furniule est duc à Liouville. A est le déterminant (|iii s'annule identiquement quand les intégrales j)', , j'o, ...,>'„ ne sont pas distinctes. On voit qu'il s'annule aussi quand X„ j)asse par zéro, ou plus exactement quand la partie réelle de

/X Y^ dx est infinie et négative.