RÉSOLUTION DES QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MIKIMUM

I. — Règle générale pour trouver les maxima et les minima des fonctions explicites.

On dit qu'une fonction d'une ou de plusieurs variables /{x,r, z. . . . ) passe par un maximum pour un certain système de valeurs des variables x,y., z, ..., quand pour ce système de valeurs on a

quels que soient les signes de ]i, A, /, .... pourvu que ces quantités soient inférieures en valeur absolue à une quantité finie, aussi petite que l'on voudra, du reste. Si l'on avait ;iu contraire, pour les valeurs de A, /.". . . . que l'on vient de définir,

on dirait que /passe par un minimum pour le svstème des valeurs de x, j', z, . . . fournissant celte relation.

Si l'on remplace li par dx, k par dy, .... on pourra dire quey passe par un maximum (ou un minimum') quand

/ X — dx, y -^ dy, ... i — fix, y, . . . . r= A/

conserve, quels que soient les signes de dx^ dy, ..., le signe 4- i ou le signe — ).

En résumé, pour savoir si f(x, y, z. . . .) passe par un maximum ou un minimum, il faut étudier les variations de signe de A/, quand on fait varier dx, dy, ....

344 CHAPITRE Xll.

La foruuilc do Tavlor donne (en la supposant apj)llcable)

(1) \/ df -K„

E,„ désignant en général un terme d'ordre supérieur -Atii ■ — ^ i . Le ternie df du premier ordre donne son signe au second membre de (i), et par suite à A/, car on peut écrire

,y-.E,= rf/(,.|.)

Or -^'. a pour limite o pour dx = o, dj' = o. ... : donc, si

dx, dj-, . . . sont assez petits, i + -l' sera positiTet dfi i -r ,1)

ou â?/-{- Eo aura le signe de df. D'ailleurs

(If = -~- dx ~. dv -- . . .

•^ âx Oy •'

change de signe avec dx., d\\ ... : donc, si Ton n'a pas identiquement df=^ o, Ay" changera de signe avec dx; dy. . . . el f ne sera ni maximum, ni minimum; donc :

THÉOTiiîMn: L — Pour qu'une fonction f passe par un maximum ou un minimum, il faut que la différentielle df passe par la valeur o.

Mais cette condition n'est pas suffisante, et, si df = o, on a

et, pour que le signe de Ay soit indépendant de r/.r, dy, . . . , il faut que d-f, qui donne son signe à Ay, ait lui-même un signe indépendant de ceux de dx, dy, ....

Il y aura maximum si d- f reste négatif, minimum dans le cas contraire.

Si t/-y s'annule, quels que soient dx., dy., . . . , on posera

Le signe de A/ sera celui de d'^f; or ce signe change avec ceux de dx, dy, . . . , car d'^fesl un polj^^nôme homogène du

troisième dc^vr i-ii (/.r, dv Donc il n'y aura ni niaxi-

mntn ni niininuini. à moins (|n(w/-' /'soiL nnl, quels (jue sokmiI ^/.r, <h\ ... : il liuidrail alors poser

et ainsi de suite.

En véiumv, jx) III </ii' une fonction f passe par un niaxiniuni ou un minimum, il faut que sa tli[j'érenlirlle première soit nulle; il faut, en outre, <jue la première différentielle, qui n'est pas nulle, quels que soient dx^ dy, .... soit d'ordre pair, et qu'elle conserve toujours le signe — pour qu'il y ait maximum et le signe 4- pour qu'il y ait minimum.

Passons aux applications :

i" La fonclion f ne contient qu'une seule variable x. Ses différentielles sont alors égales à ses dérivées, au\ facteurs f/j;, dx-., dx^. . . . près, et l'on peut dire que :

Une fonction d'une variable passe par un maximum {ou un minimum ) quand, la première dérivée s' annulant, la première de celles qui ne s'annulent pas est d'ordre pair, négative {ou positive). Cette condition est nécessaire et suffisante (pourvu toutefois que cette l'onction soit développable par la formule de Taylor ).

2" La fonction f contient plusieurs variables indépendantes x,y,z, . . .; alors, <^// devant èlre nul, quels que soient dx, dy. . . . , comme l'on a

df — ^ dx - -- rty - . . . , •' ().£ dy "

-, ,> ,, . . , àf df

il laul (lue 1 on ait séparément -^ = o, ^ = o, .... • r Ox ^ dy

Ainsi, pour qu une fonction de plusieurs variables indépendantes soit maxima ou minima, il faut que ses dérivées partielles du premier ordre soient nulles.

Mais il faut aussi que d-f conserve son signe, quels (juc soient dx, dy. . . ., et que ce signe soit -h dans le cas du

346 CHAPITRK XII.

ininijiuiin, — dans le cas du maximum; or d-f csl un polvnôme du second degré, de la forme

''j^'^->jy

dans lecjuol on a posé, pour abréger, c/.r - çi, dy -r ^o,

el

dx'^ '" dxdy

Pour savoir si ce polynôme est susceptible de changer de signe, on le décomposera en une somme de carrés.

Si tous les carrés sont positifs, <i-/sera toujours positif et il y aura minimum; si tous les carrés sont négatifs, il y aura maxinuim; enfin, si parmi ces carrés il y en a de signes opposés, <^/-/"p()urra changer de signe, el il n'y aura ni maximum, ni minimum.

Quand d-f est identiquement nul, la discussion paraît beaucoup plus difficile, mais on n'a jamais besoin de la pousser aussi loin.

Pour reconnaître le signe de d'-j^ il n'est pas besoin de décomposer 7 aij\i\j en carrés; on peut former l'équation {voir p. 2)8 cl suiv.)

«rtl

dont le premier membre est le discriminant de

Cette équation a toutes ses racines réelles, on peut lui appliquer la règle des signes de Descartes. Le nombre des carrés positifs et négatifs dans lesquels ^^aij\i\j peut se décomposer est égal au nombre de ses racines positives et négatives, et par suite :

MAXIM A Kl MINIMA. 347

Pour que J soit minimuDi, il suffit que V équation { \') n'ait que des variations, et, pour <jue f soit minimum, il suffit qu'elle n'ait que des pernutnences.

Si l'équation i ^) a des variations et des permanences, f n'est ni maximum ni minimum.

IL — Quelques exemples de détermination de maxima et de minima.

Problème 1. — Trouver dans le plan le plus court chemin d'un point A à un point B en passant par une droite donnée, les deux points A et B étant situés d'un même côté de la droite.

Prenons pour axe des x la droite donnée et une droite perpendiculaire pour axe des r. Soient a el p les coordonnées du point A, celles du point B pourront être représentées par a + /et q, l désignant la distance des points A et B comptée parallèlement à l'axe des x. Le chemin cherché se compose d'une ligne brisée sur l'axe des x; soit a -r x l'abscisse du point où le plus court chemin cherché rencontre l'axe des x, la quantité à rendre minima est

Pour trouAcr le mininuim de cette expression, égalons sa dérivée, par ra])port à ^, à zéro; nous aurons

\Jp---x- \^ q"^ -r- {l — X )•

Sans qu'il soit nécessaire de tirer x de cette équation, on voit que les deux droites dont se compose le chemin cherché font avec la droite donnée (l'axe des x) des angles dont les cosinus sont égaux, et par suite :

Le plus court chemin cherché est brisé de telle façon que ses deux parties font des angles égaux avec la droite donnée.

La dérivée seconde de lexpression ( i ) esl

c'esl-à-dirc positive; la valeur de w tirée de i^ai fournira donc bien, comme on devait s"v attendre, un minimum [à la vérilé, l'équation (i) fournira deux valeurs de x, quand on aura fait évanouir les radicaux, mais il ne s'agit que delà valeur pour laquelle les radicaux sont positifs, et [)Our laquelh' a <^x <i a -{- l, si l'on suppose, par exemple, a et /^>o].

Problème II. — Trouver un point tel que la somme des earrés de ses distances à des points Jîxes sait un niininnini.

Soient ^, r, :? les coordonnées du point cherché, Xi, j'i, z,celles de l'un des points donnés, prises par rapport à trois axes rectangulaires quelconques; la quantité à rendre minima est

en égalant ses dérivées partielles à zéro, on a

et, en appelant n le nombre des points donnés dans l'espace, 'V IV 'V

le point demandé .r, y, z n'est autre chose, comme Ton voit, que le point que Ton appelle en Géométrie le centre des moyennes distances, et en Mécanique le centre de gravité du système des points en question.

Quoiqu'il soit évident que nous sommes en présence d'un minimum, nous allons le vérifier par l'examen de la difïcrentielle seconde de la fonction (i 1; cette difierenticlle est

2 d.v- — 2 dy- ~r- idz"-.

On voit qu'elle est essentiellement positive, puisqu'elle est

MAXI.M.V KT MIMMA. 3^9

la somme do trois carrés, et la solution trouvée correspond bien, comme nous l'avons observé, à un mini/num.

Problème II F. — Trouver le polygone d'aire inaxima (jue l'on peut Jormer avec des côtés donnés.

Soient A,, Ao, A3, . . . , A,j les sommets successifs du polygone; AjA,— «,, A2A3=a2 ArtAi=:«„ les cotés

donnés; /•,, /-o, ..., j',,^:^ les diagonales A, A3, A, A.,, ..., A, A„,. Si l'on se rappelle que l'aire d'un triangle dont les cotés sont «, br c est donnée par la formule

V — {^a^ — b'*~:~ c'* — na-b- y.b'^c- — la-c^ 1, Taire à rendre maxima sera

V — (aj -^ a\-T- r\ — ia\ a:, — aaif r\ — ia\ r\) -i-V — (''1 -r- «3 ^ ''2 — 2aj r\ — ia'lr\ — iri r\ )

Désignons, pour abréger, par^i, So, . . ., 5„2 les radicaux qui entrent dans celte formule; la condition du maximum s'exprimera en égalant à zéro les dérivées partielles relatives k r\, r'I ce qui donnera

-~{ri~ ai~ a.,)- (r\ — aj — /■;) = o,

--(r.,- «3 — /'i » - -<^ô — ar — rjj^o,

or, dans un triangle de cotés a, b, c, d'angles A, B, C et d'aire S, on a

cos A — ; j S = :5 oc sin A .

L'application de ces formules transforme les équations (i) dans les suivantes :

tang Al A2 A3 — tang Al A4 A3 — o, tang Aj A3A;— tangAiA5A4= o,

35o ciiAPiTnK XII.

lesquelles cxpriiiiciil (\[iv les angles A,A2A:, et AtAjAg sont suppliMiieiilaircs, ainsi que A,A3A( et AiAsA,, ...; donc le cercle qui passe par A1A2A;, passe par Aj, par A5, ... : donc enfin le polygone maximum a lous ses sommets sur un même cercle, il est insciiptible.

III. ~ Sur le maximum des fonctions de plusieurs variables liées entre elles.

Il peut arriver que Ton demande le maximum ou le minimum d'une fonction de plusieurs variables liées entre elles par des équations non résolues; il est même parfois élégant d'introduire dans une question de maximum des variables auxiliaires liées aux variables principales. Pour trouver le maximum ou le minimum, on égalera toujours la dilTérentielle de la fonction que Ton veut rendre maxima ou minima à zéro. En effet, une fonction y de plusieurs variables X|, x-^, . . . , ;r„, liées entre elles par k équations, telles que

I ftiXi, Xi. . .., Xn)=--0,

est au fond une fonction de n — A" de ces variables qui pourront être considérées comme indépendantes, les autres a:,, Xo, ..., x/i, par exemple, étant des fonctions de celles-ci données par les équations (1). La différentielle totale de J prise par rapport à ces variables, à savoir

L'yt^i dx/,^1 -^ l'/, ^2 dx^. -2 . . . - U„ dx„,

doit donc être nulle pourqueysoit maximum ou minimum

Les variables ^/f+t> ^/s+2- ■ • étant indépendantes, dxh^x.

MAXIM A I;T MIMMA. 35 I

dxkJr-ii ■ • • sont arbitraires, et les condilions du riiaximum ou (lu uiiniMitini s(Uil

\jk -\ -- O, U/t-^o — o U„ — o.

Pour calculer les expressions UA4.1, Ua^2î • • • - ou, ce qui revient au même, la différentielle de / par rapport aux variables indépendantes, on différentiera/ par rapport à toutes les variables, ce qui donnera

(2 ) df = % d.ri ^- v^ dT. -'-....- 4^ dxn .

On diffcrenllera aussi les équations ( 11, ce qui donnera