I -7— dx^ ~— dx., — . . . ^ ~ — djr„ — o

1 OXi (JX-2 ' ox,i

(3» \ àh ()/.2, ôfo ,

1 — - dx, - - — ar, - . . . -:^— dx„ — o,

De (3) on tirera <r/x,, dx,- ■ ■ • . dx^ et, en portant leurs valeurs dans (2 ), on aura df sous la forme

Ua -1 dx^^i ... - \Jndx„ .

Au fond, cette méthode revient à égaler à zéro la différentielle de f prise par rapport à toutes les variables, c'est-àdire à poser

(4 ) -p- rfr, •- dxi . ..— -f- dxn = o,

Oxi O.r-i ()x,i

à éliminer entre (3j et (4) dXi, dx-^^ . . . , dx^ et à égaler à o les coefficients des différentielles restantes dxhj^i, • • , dx„.

On peut diriger les calculs d'une façon élégante en employant la méthode des multiplicateurs de Bézout.

Multiplions les équations (3) respectivement par les indéterminées ).,, ).^, . . ., A/;, et ajoutons-les à l'équation (4j. On pourra déterminer ces quantités X par la condition que les coefficients de dx^, dx^^ . . . , dx^ soient nuls : l'élimination de ces quantités sera alors faite; en égalant à zéro les

352 cnAPiruK xii.

coefficients de dx|iJ^^ dx,f, on ;iura les coniliiions du

niaxiinuin ou du niininuiin. On ol>llenl ainsi les cijualions

(5) / àx. ^^().r., ■ • ■ ^''â.r:, ' '

<).r„ ^' à.rn •■ • ' f).r„

Je le répète, on peut supposer que A' de ces équations déterminent "kf, )vo, . . . , ).A ; les n — /i autres sont les équations du maxinuini ou du niininuini, et servent alors à déterniineiles variables^ concurremment avec les équations ( i).

Au fond, celte méthode revient à éliminer A,, k.^? •••> ^^A entre les équations (5); les résultantes et (i) font connaître les valeurs de ^i, cc-i, . . ., ^« pour lesquelles il v a maximum ou minimum. Je dis qu'il faut éliminer \,, Ao, .... A«, car il n'y a aucun intérêt, en général, à connaître ces quantités, qui jouent dans la question un rôle tout à fait secondaire.

Il est important d'observer que l'on arriverait au même résultat en cherchant le maximum ou le minimum de la fonction

où ).,, Ao, • ■ . seraient traités comme des constantes dans la diiFérentiation.

Il est bon d'observer aussi que, si l'on veut discuter la différentielle d'-/^ les quantités of'xi, dx.,, . . . n'y sont plus arbitraires; mais cette discussion est le plus souvent inutile.

Une dernière remarque : la fonction / à rendre maxima pourrait se trouver engagée sous un signe fonctionnel, dans une équation non résolue : ainsi, étant données les relations (i), on pourrait demander de rendre maxima la fonction / donnée par la formule

(6) cp(/, xi, T2, x„) ^: o;