XVII. — Digression sur la nature des exponentielles

Le ihéorcmed'Eisenslein, démontré page 43, montre que e^, sin.r, cosj:'ne peuvent être racines d'une équation algébrique de la forme f{x,y) = o,f désignant un polynôme à coeflicients entiers : ce sont donc bien des fonctions transcendantes et il en esl alors de même des fonctions tangx, arcsina", sinlij", ..., car les fondions e-^', sin.r, cos.r, développées suivant les puissances de a:, se composent de termes dont les coefficients sont des fractions irréductibles qui contiennent en dénominateur une infinité de nombres premiers.

Une faudrait pas conclure de là que e^ ne peut pas être un nombre rationnel pour des valeurs j^articulièi-es de x. Nous verrons plus tard que e^, quand x est entier, et que t, t.- ne sauraient être conimensurables ; pour le moment, bornonsnous à démontrer l'incommensurabilité de e. Ou a

si e était commensurable, on pourrait le supposer égal à une

P entre eux; on en conclurait

fraction - ayant ses deux termes p, q entiers et premiers

et, en multipliant par 1.2...^,