XVIII. Quelques théorèmes concernant les séries doubles

On appelle sc/'ies doubles une suite iudé(inie de ternies que l'on peut supj^oser rangés de la façon suivante.

A chacune de ces quantités attribuons deux indices, en sorte que l'une quelconque d'entre elles puisse être représentée par Uij : on pourra alors regarder i et y comme deux coordonnées et l'on supposera la quantité Uij écrite sur le point du plan a\anf ]iour coordonnées les nombres entiers i et y.

Une série douille

"00 "+" "01 ~^ "02 -f- . ■ • -!- Uon -+--.. -f- î/io-" "II — "12 — ... — "i„— •■ .

est dite convergente lorsque, avant décrit un contour quelconque coupant l'axe des ir et l'axe des y, la somme des termes de la série contenue à l'intérieur de ce contour tend vers une limite déterminée toujours la même, quelle que soit la manière dont le contour se déforme, lorsque ce contour s'éloigne indéfiniment de l'origine. Cette limite est la valeur de la si'rie.

Go ciiAi'iTiii: II.

Théorkme I. — Pou/- (juc 1(1 srfie (i) soi/ com'crgontr^ il faut que u,j tende vers zéro quand i et j croissent indéfiniment.

Thûouème II. — Si une série double à ternies positifs est convergente, toute série à termes égaux ou plus petits respectivement et positif s est comergente aussi.

Ïhéouème III. — Si a/j désigne le module de Uij et si la série dont le terme général est aij est convergente, celle dont le terme général est u/j est convergente aussi.

Théorème W . — L ne série double à termes positifs ne change pas de valeur quand on intervertit V ordre de ses termes.

Théouème y. — // en est de même pour une série quelconque, lorsque la série des modules de ses te/mes est convergente.

Théokème VI. — La série double dont le terme général est x'^y", X et y désignant des nombres moindres que i, ou dont le module est moindre que i, est convergente.

En effel, si Ton fait la somme des termes contenus dans un rectangle contenant m termes dans une rangée horizontale et ji termes dans une rangée verticale, on trouve

I y yn—l j^ni yx'" yn — \x"^

OU

[ r« a"« yi>x"'

(t — x){i—y) ^i—x)(^i — y)~^i — x)(^i — y)~^{^i—y){i—xf

quand mai n croissent indéfiniment, cette somme se réduit à

Si X et y sont positifs, la somme en question a

toujours même limite, quel que soit le contour dans lequel

THÉORIE G É.NÉHALK DES SÉRIES. 6l

on emprisonne les tenues de la série; donc la liniiic osi l.i iiièinc quand x et )' sont imaginaires.

TiiÉoiit.MK A II. — Si la somme des termes d'une série double tend vers une limite déterminée, les termes pris dans la somme étant contenus dans un contour c qui uraiidit indéjiniment en tout sens, en sui^-ant une lot déterminée^ la série sera con^'ergente pourvu qu'elle soi/ à termes positifs.

En cllet, la somme des termes contenus dans un contour r' diflérent de c peut toujours être supposéiî contenue dans un contour c suffisamment grand. Soient 5 la somme des termes relatifs au contour c, s' la somme des termes relatifs au contour c' : on aura s' <^ s; or 5, par hypothèse, a une limite S : donc s' <^S ; donc s' croissant avec c' a une limite S' ^ S ; on verrait de même que S ^S'; donc S = S'. c. q. v. n.

Il résulte des théories précédentes que, pour évaluer la valeur d'une série double telle que (i), on peut la considérer comme la limite de la somme des termes contenus dans un rectangle dont la hauteur serait infinie et dont la base irait en croissant indéfiniment, ou dont la base serait d'abord infinie et dont la hauteur irait en croissant indéfiniment (en appelant base la dimension horizontale et hauteur la dimension ^erticale). Ainsi la valeur de la série (i) supposée convergente peut s'écrire à volonté

« ^ 0 /i = 0 II — a

Il — X III = x m = rt

2ii ""'0 -^ ^ "'"I '-' 2u "'"-

02 CIIAIMlllK II.

XIX. — Application destinée à faire comprendre l'utilité de la théorie des séries doubles.

En évaluant la srrie double converi;ente