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<le deux, manières, on trouve l'identité

/ (e'^' — I ) H- le'^' — I j -+-... -h ie^" — i ) --. . ' (a) 1 a r a^ i a"

Pourquoi la série (i) esl-elle convergente? Poia(|uoi la formule (2) a-t-elle lieu? Son premier membre est-il convergent? Voici la réponse à ces questions :

i" Le second membre de (2) est convergent, parce que le rapport d'un terme au précédent a pour limite zéro; 2" la série double (2) est convergente, parce que la série formée par les modules de ses termes est convergente; et, en effet, les termes réduits à leurs modules forment une série convergente, puisqu'on peut trouver une limite à la somme des termes compris dans des contours rectangulaires; 3" la série (1) étant convergente, on peut la sommer en prenant les termes compris dans des rectangles de bases infinies, ce qui fournit le premier membre de (2).

iiifiduii; (;f:.M- itALi: i)i:s séuiks. (jo

EXERCICES ET NOTES

1. La série «/o -H »i -+-... -i- «/j-f- .. . est convergente lorsque lu

limite de (modK")" est moindre que i quand « croît indéfiniment, ou quand cette quantité reste constamment moindre qu'une quantité finie moindre que i. (Voir une démonstration de ce théorème <;ii. XIII, § V.)

:2. Supposons que, dans la série «o-f- i<i ^-. . .-r- «<«, on ait 11,,^, n' ~ A «'-1 -f- B /j'-s-i- . . .

ti/i II'- -T- an'-^-\- bn'—--\-. . .

^i la première des quantités A — a, \> — b, ... qui ne s annule pas est positive, la série est divergente; la série est convergente ou divergente suivant que A — a -\- \ est négatif ou positif. (G.\tSS.)

3. La série u^, -f- i<i -h ...—«<«—.. . est convergente ou divcrgenle suivant que l'on a

loc —

uni -j > ou

lojr/t

i. La série

•j» log'2 3 logj ' nlogft

est divergente.

a. Si /\:, /•], r.i, . . . sont des nombres indéfiniment décroissants et 0 un arc qui ne soit pas multiple de t, les séries

'"o -'- 'i LOS 0 -H r-i cos 26 — ... -- /■„ cos /i 0 -^ . . . , ri sinO ~ r-y sin-^O --...-)- /•„ sinn6 — . . .

sont convergentes. ( Bjorling.)

0. a, b, c, . . . désignant les nombres premiers impairs, on a

^x-^ x-^ -î- x'' -^ o-'S - - ( Catalan. )