VI. — Théorème de Rolle T

Lorsque la fonction J{-r) est finie et continue entre les limites ci et b de sa variable, et rju^elle a une cléri^'ée f\x) toujours uniciue et finie clans cet intervalle, cette dérivée passe par zéro pour une valeur c de x comprise entre a et b si l'on a J\o) = o, f{b) = o.

En ellet, la fonclion y(.r i s'annulanl pour .r = o, x = b, si nous supposons a <^ ^, nous pourrons l'aire trois hypothèses : 1" ou bien /{x) reste nul : alorsy'(j:") = o et le théorème est démontré; 2" ou bien /{x) cesse d'être nul quand .r croît à |)artir de a, et croît avec x; mais,y(x) devenant de nouveau nul [lour x = b, A laul quey'(j:) décroisse :

(' ) Ce ihéorènie a clc énonce poui" la première fois, sous celle forme précise, pur M. (». Bonnet, mais on peut en faire remonter l'origine à l{olie.

74 CM Al' nui- III.

il passe (Iniic par un iiiaxiMiiim au nioius pour iiiu' \alcurc <.1c x\ 3" on l)iony(.r'), cessant de snnnuler pour des \aleiirs de .r supérieures à r/, décroît et dcvienL iK'gatir; mais, connue il doit San nu l(M' pour ./ />, \\ laul ipi \\ jiasse par un un ni muni au moins, pour une valeur de ,<• comprise enlie c/ cl h.

Ainsi /ï. A- 1 doit passer par un maximum ou par un minimum pour une valeur r de .r lellc cpie (t<'^(:<^b. Le caractère cc^nimun au maximum et au minimum csl (pic. pour // 1res

petit,

/'(; c - li) —J\ c ) et /■( c — h) -J\ c )

soient de mêmes signes : ilonc

ot ■

sont de sii;nes contraires ; or, ces deux expressions avant par liv|)Oliièse la même limite /'(r), (pii est uni([ue et finie, il huit (pie cette limite soil /rvo '. donc

Coroll((iir I. - - Si l'on a /{(() ^^ 0, f{b) = o, J\c) =■ o, a<C,b<^c, si la fonclitjii / et sa dérivée sont coiUinues quand x varie de a à c cl si J'"[.r) existe et est bien déterminé dans cet i/i/r/^allc, on aura

J"Kd) -o,

d désignant un nombre co/zipris entre net c; de même, si L 'on aj\ a)=zo, /'( b)^=z o , /'( c ) = o , /( d) = o, a -</><< c -< d, si f{x), /'[■%■),/" (x) sont finis et continus entre les limites a et f/, on aura

e étant compris entre a et c\ cl ainsi de suite.

En ellet, supposonsy"(r/) = o,J'{b) = o, /"(c) '-^ o; en ap[)elant Cl et b' des quantités con\eiial)leineiit choisies entre a et b et entre b et c, on aura, par le théorème de Holle,

f(a') = o, f\b')-^o, <;t pur suite, encore, en vertu du théorème de Holle,

Tin-oiiii: ni: s nf-iu vfu:s. ->

<•' dcsignant iiii iiumlnc coiiiiJiis ciilrc r(' cl A on, ce f[iii est

la mèiiic chose, ciilic ff cl r, clc

CoioUdirc II. Siipjxisons <iii<', /{j") rcslaiil cniilinii. (liiisi (juc SCS II /i/t'/nic/'cs dcrn'ccs, fjuaiid r imir entre ./"o et \, la [n -r i/ ""' dérivée existe et reste finie et bien déterminée. Soient (ly, (i.>. ..., ((„^i, X des nondjies eoin/nis en tre ees limites, ; une moyenne entreees nonihres ; on ((uia , si J\x) s'iinnule pour x =-- <i\, (f-^ (f/i+t,

J{x) --={x — a,){x — ai)...(j---a,t^i) -^'.^ '^ ^ • Em cHet, posons ( I ) f(x) — {x~ai)...{x~ a,;+i ) 0 1 ./■ ) :

la l'onclion de c

J\z) — (z — ai)(z--a.,\...(z — «„+, ) e(.r )

s'annulera pour c =-- a^, a-, <'it-^\ et z^= x\ donc sa dérivée {n -T i'""') s'annulera pour une valeur ç de ^ comprise entre la plus grande et la plus pclilc des ([uanlilés <7,, a.;,, ■ ■ ■ ■ <fn+\ ^t -^j 01" celle dérivée esL

y«+i( -) -- I .'A.3. . . ( « -^ I ) 0(x) On a donc

d'où

i .j. . ù . . . \ /t II

Porlant celle valeur de &(x) dans la l'ornuilc ( i ), on a précisément la formule qu'il fallait établir.