VII. — Formule de Taylor

Nous allons mamlcnanl dahlir une lormide (piic>t,on peut le dire, la pierre londamenlale sur laquelle est édifié tout le Calcul difiérentiel et intégral 5 cette Ibrmule, qui porte le nom

-6 CIIAIMTUI: III.

de formule (le Tavlor, a élr rohjcl i\c travaux nonihroiix; elle a ('le succcssivcnienl porrocllonnc'C par dilluslros t;éomètres, tels que crAleiiil)erl, t^agrani;e. ('ancliv.

La déinonslralion que nous allons en donner csl duc en prineipe à M. Ilommersham-Cox ; elle a été simpliliée pai- M. Rouché, qui a combiné la dénionslralion de M. Hoininershani-Cox avec une dénionslralion antérieure de Gaucliv ; enfin le théorème de RoUe, tel que l'a exposé M. Ronnel, est venu apporter à la déinonslralion de M. Rouché une perfection telle (ju'il est peu prol)al)lo que Ton arrive à rien de plus net el de plus précis dans la su île.

Lorsque la lonclion /\.r) est entière el de degré n — i , on a

l .1. i . . . Ul \ )'

Il est naturel de poser, quand /'est quelconque,

/(.r — h) = f(x) ^hfix) -....-■ r^ ,f"-^{^ ) - 1^

el de chercher une expression simple de R qui salislasse à celte éf[ualion. R existe, car R n'est autre chose que

//"-i fix-^-k) -J\x) — hf\x) /" '(3-;;

il faut toutefois que, f\x), .... /" ' Kx) existent.

-Nous supposerons que, x variant de jc à J" -h A, la lonclion /(;) ait des dérivées /'(-)• •••• ./"(^'' "*^"^ supposerons seulement que f"{x) existe entre les limites eu question : alors /"-'(c), /"-(^), ...,/'{z-), /\z) seront continus. Posant, ce qui est permis, R = PA', i désignant un entier positif, nous aurons

(i)Ax-^h)-/{x)-h/\x)--...- ^^['"~'^^^^/-K-r)Vh'=^o.

Faisons alors

THÉORIE DES DÉIIIVÉKS.

nous pourrons c-crirc, au lieu de ( i ),

( \ .ri"-'