TRAITÉ

CALCUL DIFFERENTIEL.

APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTllIQUES,

LNTHODUCTION.

^ I. — Des fonctions.

Autrefois on appeWil fonc l io/is d' une quantiLc les diverses puissances de celle quantité, puis on a étendu le mot de fonction à toutes les expressions analytiques que l'on peut former avec cette quantité; voici la définition plus précise qui semble adoptée aujourd'hui et que nous adopterons dans ce qui va suivre :

Deux quantités sont fonctions l'une de l autre quand, l'une d'elles restant constante, l'autre reste constante aussi.

Celle définition comprend celle de la constante : c'est l.i un inconvénient de peu d'importance, car il sera toujours facile L. — Traite d'Analyse, I. i

) CIIAIMTUK 1.

(le prcciscr ilaiis cliafjiio cas parlictiller; il est, (.railloiirs, lo liliis souvent utile de considérer le cas où la ("onction devient une constante.

l ne (juaiitité / sera dite fonction de plusieurs autres ./•, ), r-. ... quand, celles-ci l'estant constantes, restcraconslantc aussi; on voit donc que, si/est fonction dc.r, ),:;, ..., elle sera lonclion de chacune de ces variables en particulier, prise isoK'nient, les autres restant constantes.

De là résulte que notre définition du mot fonction coniprond celle des fonctions a/i((l\tiquc.s (jue l'on considérait autrefois et celle de toutes les autres fonctions, telles ([ueles fonctions empiriques dont la forme n'est donnée que par des phénomènes naturels.

J' II. — Continuité des fonctions.

Nous dirons qu'une foncliony( j:') est continue pour.r = « quand, étant donnée une quantité positive quelconque s, aussi petite que l'on voudra du reste, il existera une quantité positive H telle que, h étant moindre en valeur absolue que II, fi^a^rh) ait une valeur unique et bien déterminée, et que Ton ait

val. abs. [y\<i Ai j\a)\ :'^i,

quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée à h.

Une fonction, sjx par exemple, peut avoir pour chaque valeur de x plusieurs valeurs et cependant être continue, s'il est possible de séparer ces valeurs de telle sorte ([ue Taccroissement h donné à x entraîne toujours sans andjiyuïté un accroissement, et un seul, bien déterminé pour la fonction.

Théorème I. —Si une fonction f{x) est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, si de plus f{a) etf(b) sont de signes contraires, il existera une valeur a de X, comprise entre a et 6, telle que Con ait f(%) =. o.

Pour le démontrer, désignons par/2 un nombre entier quel-

l.NT KO DICTION. 6

coïKjiic |)lus i;r.iml <[iio r, posons = /i et njrinons la

suite

/i a ). fi a /i 1, /( a -xli ^ /(« - ii - i h). J'iO).

Si 1 un (Jl's lorincs de celle suile élait nul, le llu'orènic serait dcmonlré; si aucun d'eux n'est nul, il en existera deux conséculifs au moins ([ui seront de signes contraires, puis(}uc le premier et le dernier sont de signes contraires; appelons

ces termes /(</, ) et/(^,), posons — ^ =^h\ et considérons la nouvelle suile

/(«,), J\ai -hi), .... /{ai — n— i/ii}, fibi);

si aucun des ternn-s de cette suite n'est nul, auquel cas le lliéorème seraitdéinontré, il existera deux tenues conséculifs

/{ii>) clfihj) de signes contraires; posant-^ — = Ao,on

considérera la no u\ elle suite

En conlinuanl ainsi, on formera deux séries de nombres a^ cit , 0-2, ... 1 ffm- ... vlO, Oi, 0-2, .... 0,n, • • • . Ics premiers croissants, les seconds décroissants, ou plutôt tels que

a «1 «2 .•■• b}: bi> b-2 ■ ■ ■■

En général, J\ciin) et/( •'>'/«) sont de signes contraires et

h-n Ki) b„i — a,n^- „„, ;

or les nombres a,u vont en croissant sans dépasser b : ils ont donc une limite a. Les nombres b,n ont de même une limite ,3 ; or, en vertu de (i), b,n — ci,a tend vers zéro quand m augmente indéfiniment : donc

V\mb,n — liina,„ = o ou a - - 'i.

Ceci posé, considéi'ons/(a); «,„ et b,n dilTérant de y. d'aussi peu que l'on veut, on pourra prendre en valeur absolue

4 CIIAIMIUK I.

or, zéro clanl compris vn[vc J\a„,) cl/(^,„), on aura alors, cf

fortiori,

/(^) — o<t ou /(a)<s.

Mais une ([uanlilr fixe /(a) (jni poiil rlrcM'ciidiu' iiu)iiulie (|ii(' £, quelque pelil qu'il soit, esl nulle : ilonc, elc. c. q. y. r>. On conclut de là ccL autre ihéorènu^ :

Tui':oui:ME II. — Une fonction J {x) continue entre les limites a et b ne peut passer de la valeur /(a) à la valeur J\h) sans passer par toutes les valeurs i/ttermédiaires.

Supposons en c^cl /(a) << [J<-<C/(^)! si Ton considère la roncliony'(x) — [ji., celle fonclion sera évldemmenl conlinue pour loutes les valeurs de .r comprises enlre a et b. Donc, /(a) — [X étant négatif, f{b) — [jl positif, /(x) — [j. passera par zéro pour une valeur de x coni|)rise enlre a et />, ouf(^x) deviendra égal à u. c. q. f. n,

La réciproque de ce théorcnie n'est pas vraie ; une fonction qui ne saurait passer de la valeur y(«) à la valeury(6) sans passer par loules les valeurs Intermédiaires n'est j)as pour

cela conlinue rsin-? par exemple, ne peut passer de — i à

+ I sans passer par loutes les valeurs inlermédiaii'cs, et cependant c(,'lle fonclion est discontinue pour ^' = o ; et non pas parce (|u'elle est indéterminée j)our x = o, car, comme elle n'est pas définie pour cette valeur de x, on peut lui assigner pour :r = o la valeur zéro, et considérer une fonction y"(j?)

égale à sin - > excepté pour x = o, et égale à zéro pour :r =^ o.

Une pareille foncliony'(.r) n'est pas continue, parce que/(A), queUpic petit que soit A, ne peut pas rester moindre qu'une (pianlilé arbitraire s. TouUîfois on pciil dire que :

TnÉonliME III. — Si une fonction /(x) croissante (ou décroissante) quand x varie de a à b ne peut pas passer de f{a) à f(b) sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, elle est continue dans cet intervalle, pourvu qu'elle ait une valeur déterminée pour chaque valeur de x.